Chứng minh bất phương trình:
(a+b+c)($\frac{1}{a}$ +$\frac{1}{b}$ +$\frac{1}{c}$ )≥9 (1)
⇔1+$\frac{a}{b}$ +$\frac{a}{c}$ +$\frac{b}{a}$ +1+$\frac{b}{c}$ +$\frac{c}{a}$ +$\frac{c}{b}$ +1≥9
⇔ ($\frac{a}{b}$ +$\frac{b}{a}$)+($\frac{a}{c}$+$\frac{c}{a}$)+($\frac{b}{c}$ +$\frac{c}{b}$)≥6 (2)
Ta có: a>0;b>0;c>0
⇒$\frac{a}{b}$ >0;$\frac{b}{a}$ >0;$\frac{a}{c }$ >0;$\frac{c}{a}$ >0;$\frac{b}{c}$ >0;$\frac{c}{b}$>0
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương ta được:
$\frac{a}{b}$ +$\frac{b}{a}$≥2.√($\frac{a}{b}$ .$\frac{b}{a}$)=2
$\frac{a}{c}$+$\frac{c}{a}$ ≥2√$\frac{a}{c}$.$\frac{c}{a}$=2
$\frac{b}{c}$ +$\frac{c}{b}$≥2√$\frac{b}{c}$ .$\frac{c}{b}$=2
⇒($\frac{a}{b}$ +$\frac{b}{a}$)+($\frac{a}{c}$+$\frac{c}{a}$)+($\frac{b}{c}$ +$\frac{c}{b}$)≥6
Vì (2) luôn đúng với mọi a,b,c lớn hơn 0 nên (1) luôn đúng.
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:
(a+b+c)($\frac{1}{a}$ +$\frac{1}{b}$ +$\frac{1}{c}$ )≥9
⇔ 3.($\frac{1}{a}$ +$\frac{1}{b}$ +$\frac{1}{c}$ ) ≥9 (vì a+b+c=3)
⇔$\frac{1}{a}$ +$\frac{1}{b}$ +$\frac{1}{c}$ ≥3
hay P≥3
Dấu "=" xảy ra ⇔a=b=c=1
Vậy MIN của P là 3 tại a=b=c=1
#goodluck
