a.ΔABC vuông tại A có :
$\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^o(1)$
ΔAHC vuông tại H có :
$\widehat{HAC}+\widehat{ACB}=90^o(2)$
Từ (1) và (2) :
$⇒\widehat{ABC}=\widehat{HAC} ( Cùng phụ với \widehat{ACB} )$
b.Xét ΔABD và ΔHBE có :
$\widehat{BAD}=\widehat{BHE}=90^o$
$\widehat{HBE}=\widehat{DBA} $
$⇒ΔABD\sim ΔHBE (g.g)$
$⇒\dfrac{BD}{BE}=\dfrac{AD}{HE}$
$⇒BD.HE=BE.AD(đpcm)$
c.ΔABC vuông tại A
$⇒BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5cm$
Xét ΔAHB và ΔCAB có :
$\widehat{AHB}=\widehat{CAB}=90^o$
$\widehat{ABC} : chung $
$⇒ΔAHB\sim ΔCAB (g.g)$
$⇒\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AB}{BC}$
$⇒AH=\dfrac{AC.AB}{BC}=\dfrac{3.4}{5}=2,4cm$
ΔHAB vuông tại H :
$⇒BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{3^2-2,4^2}=1,8cm$
ΔHAB có BE là tia phân giác của $\widehat{ABC}$
$⇒\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{EH}{BH}$
Theo TCCDTSBN :
$⇒\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{EH}{BH}=\dfrac{AE+EH}{AB+BH}=\dfrac{AH}{AB+BH}=\dfrac{2,4}{3+1,8}=\dfrac{1}{2}$
$⇒AE=\dfrac{1}{2}.AB=\dfrac{1}{2}.3=1,5cm$
