a) Xét hai tam giác vuông ABD và MBD có
BD cạnh chung
Góc ABD = DBM (gt)
Do đó hai tam giác này bằng nhau (cạnh huyền - góc nhọn)
b) Do hai tam giác trên bằng nhau nên
BA = BM
DA = DM
Suy ra BD là đường trung trực của AM (định lý 2)
Hay BD vuông AM
c) góc ACB = 90 - ABC = 90 - 60 = 30 độ
Góc DBM = góc ABC/2 = 60/2 = 30 độ
Vậy ∆DBC cân tại D
Ta lại có DM là đường cao xuất phát từ đỉnh D (DM vuông BC)
Nên DM cũng là đường trung tuyến của ∆DBC ứng với cạnh BC
Hay BM = MC
d) Gọi N là giao điểm của AB và CK
Xét ∆CBN có
AC là đường cao ứng với cạnh BN (AC vuông AB)
BK là đường cao ứng với cạnh CN (CK vuông BD)
CA cắt BK tại D
Do đó D là trực tâm của ∆CBN
Suy ra ND là đường cao ứng với cạnh BC
Hay ND vuông BC
Mà DM vuông BC (gt)
Nên M thuộc ND
Vậy MD, CK, AB đồng quy tại N
