a) Xét hai tam giác vuông AEH và AHB có
Góc BAH là góc chung
Do đó ∆AEH ~ ∆AHB (g.g)
Suy ra AH/AB = AE/AH
Hay AH^2 = AB.AE
b) Xét tứ giác AEFH có góc A = góc E = góc F = 90 độ
Nên tứ giác AEFH là hình chữ nhật
Suy ra góc AFE = góc AHE
Mà góc AHE = góc ABH (cùng phụ BAH)
Nên góc AFE = góc ABC
Xét hai tam giác vuông AFE và ABC có
Góc AFE = góc ABC (cmt)
Do đó ∆AFE ~ ∆ABC (g.g)
c) Xét ∆MHA có
HE là trung tuyến (ME=EA)
HE là đường cao (HE vuông AB)
Suy ra ∆HAM cân tại H
Suy ra HE là phân giác của góc H
Hay góc MHE = góc AHE
Ta lại có góc AHE = góc AFE (chứng minh ở câu trên)
Nên góc MHE = góc AFE
Mà góc MHE = góc HNA (đồng vị do HE //AN vì cùng vuông AB)
Nên góc AFE = góc HNA
Suy ra HE // FN (hai góc đồng vị bằng nhau)
Ta có góc AFE = góc ABC (chứng minh ở câu trên)
Nên góc ABC = góc ANH (= góc AFE)
d) Do góc ACH = 30 độ nên ∆ABC là nửa tam giác đều, góc ABC = 60 độ
Trong ∆ABC vuông tại A có
AO là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC
Suy ra AO = OB = OC
Suy ra ∆AOC cân tại O
∆AOC cân tại O có góc OCB = góc OBC = 30 độ
Xét ∆AKN có góc KAN = 30 độ
Góc ANB = góc ABC = 60 độ (chứng minh câu trên)
Nên ∆AKN vuông tại K
Xét hai tam giác vuông AKN và CHA có
Góc KHN = góc HCA = 30 độ
Do đó ∆AKN ~ ∆CHA (g.g)
Suy ra AK/CH = AN/AC = KN/AH
∆AHN có góc ANH = 60 độ
Góc HAN = 90 độ - góc ACB = 90 - 30 = 60 độ
Do đó ∆AHN đều
Trong tam đều AHN có AK là đường cao (AK vuông HN)
Nên AK = AH x căn3 /2
Ta có HAC là nửa tam giác đều cạnh AC
Với CH là đường cao, ta được CH = AC x căn3 / 2
Mà AC = 2AH
Nên CH = AH x căn3
Tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng
S(AKN)/S(CHA) = (AK/CH)^2
= (AH. căn3 /2 : AH căn3)^2 = 1/4
