a) Ta có góc BEC = góc BDC = 90° (cùng nhìn đường kính BC)
Suy ra góc AEH = góc ADH = 90° (hai góc kề bù tương ứng)
Suy ra tứ giác AEHD nội tiếp
Gọi M là trung điểm của AH
Xét ∆AEH vuông tại E có EM là trung tuyến ứng với cạnh huyền AH
Nên MA = ME = MH (1)
Tương tự, DM là trung tuyến ứng với cạnh huyền AH
Nên MA = MH = MD (2)
(1)(2) suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp AEHD
b) Ta có MD = ME (cmt)
OD = OE = R
Nên OM là đường trung trực của ED
Hay OM vuông ED
c) Ta có ∆MDH cân tại M (MD = MH)
Suy ra góc MDH = góc MHD
Mà góc MHD = góc BHI (đối đối đỉnh)
Nên góc MDH = góc BHI
Ta lại có góc BHI + góc HBI = 90° (∆IBH vuông tại I)
Nên góc MDH + góc HBI = 90°
Mà góc HBI = góc HDO (∆OBD cân tại O)
Nên góc MDH + góc HDO = 90°
Hay MD vuông OD
Suy ra MD là tiếp tuyến của (O)
d) Ta có tứ giác DCIH nội tiếp (góc HDC = góc HIC = 90°)
Nên góc HID = góc HCD (cùng nhìn cạnh HD)
Mà góc HCD = góc MDH (cùng chắn cung nhỏ ED)
Nên góc HID = góc MDH
Xét ∆MDI và ∆MKD có
Góc DMI góc chung
Góc MID = góc MDH (cmt)
Do đó ∆MDI ~ ∆MKD (g.g)
Suy ra MD/MK = MI/MD
Hay MD^2 = MI.MK (₫pcm)
