Ta có :
`(a+b+c)(ab+bc+ca)`
`⇔(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc+abc`
`⇔(a+b)(ab+bc+ca)+c(ab+bc+ca)-abc+abc`
`⇔(a+b)(ab+bc+ca)+abc+c(bc+ca)-abc +abc`
`⇔(a+b)(ab+bc+ca)+c^2(b+a) +abc`
`⇔(ab+bc+ca+c^2)(a+b) +abc`
`⇔[b(a+c)+c(a+c)](a+b) +abc`
`⇔(b+c)(a+c)(a+b) +abc`
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
`a+b+c≥3`$\sqrt[3]{abc}$
`ab+ac+bc≥3`$\sqrt[3]{ab.bc.ca}=\sqrt[3]{a^2.b^2.c^2}$
`⇒(a+b+c)(ab+bc+ca)≥3`$\sqrt[3]{abc}.\sqrt[3]{a^2.b^2.c^2}$
`⇔(a+b+c)(ab+bc+ca)≥9`$\sqrt[3]{a^3.b^3.c^3}$`=9abc`
`⇔(a+b)(b+c)(a+c)+abc≥9abc`
`⇔(a+b)(b+c)(a+c)≥8abc`
`⇔(a+b)(b+c)(a+c)≥8/9abc+8/9(a+b)(b+c)(a+c)`
`⇔(a+b)(b+c)(a+c)≥8/9 [abc+(a+b)(b+c)(a+c)]`
`⇔(a+b)(b+c)(a+c)≥8/9(a+b+c)(ab+bc+ca)`
