Đáp án:
`1`
Giải thích các bước giải:
Điều kiện: $ \left\{ \begin{array}{l} 2x+\dfrac{1}{y}+1\ge 0 \\ x-y+1\ge 0\,\,;\,y\ne 0 \end{array} \right. $
$ \left\{ \begin{array}{l} \sqrt{2x+\dfrac{1}{y}+1}+\sqrt{x-y+1}=4 \\ 3x-y+\dfrac{1}{y}=6 \end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt{2x+\dfrac{1}{y}+1}+\sqrt{x-y+1}=4 \\ \left( 2x+\dfrac{1}{y}+1 \right)+(x-y+1)=8 \end{array} \right. $
Đặt $ \left\{ \begin{array}{l} u=\sqrt{2x+\dfrac{1}{y}+1} \\ v=\sqrt{x-y+1} \end{array} \right.\,\,\,\,(u,\,v\ge 0) $ ta có hệ phương trình
$ \left\{ \begin{array}{l} u+v=4 \\ {{u}^{2}}+{{v}^{2}}=8 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} v=4-u \\ {{u}^{2}}+{{(4-u)}^{2}}=8 \end{array} \right. $
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} v=4-u \\ {{(u-2)}^{2}}=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} v=2 \\ u=2 \end{array} \right. $ (thỏa mãn)
Với $ \left\{ \begin{array}{l} u=2 \\ v=2 \end{array} \right.\Rightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l} 2x+\dfrac{1}{y}+1=4 \\ x-y+1=4 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x+\dfrac{1}{y}=3 \\ x=y+3 \end{array} \right. $
$ \Rightarrow \,2(y+3)+\dfrac{1}{y}=3\Leftrightarrow 2{{y}^{2}}+3y+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y=-1 \\ y=-\dfrac{1}{2} \end{array} \right. $
$ y=-1\Rightarrow \,x=-1+3=2 $ (thỏa mãn)
$ y=-\dfrac{1}{2}\,\Rightarrow x=-\dfrac{1}{2}+3=\dfrac{5}{2} $ (thỏa mãn).
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm $ (x;y)=\left\{ (2;-1),\,\left( \dfrac{5}{2};-\dfrac{1}{2} \right) \right\} $ .
Vì $ x;y $ là các số nguyên nên $ (x;y)=(2;-1) $ là nghiệm của hệ thỏa mãn đề bài.
Ta có: $ {{x}_{o}}+{{y}_{o}}=2+(-1)=1 $ .
