Giải thích các bước giải:
1.Vì $AB$ là đường kính của $(O)\to AE\perp BE$
Mà $CI\perp AB\to \widehat{NEA}=\widehat{NIA}=90^o$
$\to NAIE$ nội tiếp
$\to\widehat{AEI}=\widehat{ANI}$
$\to\widehat{AEI}+\widehat{NAB}=\widehat{ANI}+\widehat{NAI}=90^o$
2.Vì $ME$ là tiếp tuyến của (O)
$\to \widehat{MED}=\widehat{MEA}=\widehat{EBA}=\widehat{NBI}=90^o-\widehat{INB}=90^o-\widehat{DNE}=\widehat{NDE}=\widehat{MDE}$
$\to\Delta MDE$ cân tại $M$
3.Ta có $CI\perp AO=I$ là trung điểm $AO$
$\to CI$ là đường trung trực $AO\to CA=CO=R\to \Delta ACO$ đều cạnh $R$
$\to CI=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}$
Vì $D$ là trung điểm $CI\to DC=DI=\dfrac{R\sqrt{3}}{4}$
$\to DA=\sqrt{DI^2+AI^2}=\sqrt{(\dfrac{R\sqrt{3}}{4})^2+(\dfrac12R)^2}=\dfrac{\sqrt{7}R}{4}$
Ta có:
$\widehat{DIA}=\widehat{AEB}=90^o,\widehat{DAI}=\widehat{EAB}$
$\to\Delta ADI\sim\Delta ABE(g.g)$
$\to\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AI}{AE}$
$\to AE=\dfrac{AI.AB}{AD}=\dfrac{\dfrac12R\cdot 2R}{\dfrac{\sqrt{7}R}{4}}=\dfrac{4\sqrt{7}R}{7}$
$\to DE=AE-AD=\dfrac{4\sqrt{7}R}{7}-\dfrac{\sqrt{7}R}{4}=\dfrac{9\sqrt{7}R}{28}$
$\widehat{NDE}=\widehat{ADI},\widehat{DIA}=\widehat{DEN}$
$\to\Delta EDN\sim\Delta IDA(g.g)$
$\to \dfrac{DE}{DI}=\dfrac{DN}{DA}$
$\to DN=\dfrac{DE\cdot DA}{DI}=\dfrac{\dfrac{9\sqrt{7}R}{28}\cdot \dfrac{\sqrt{7}R}{4}}{\dfrac{R\sqrt{3}}{4}}$
$\to DN=\dfrac{3\sqrt{3}R}{4}$
