1. Ta có: $BE\perp AC$ $(gt)$
$\Rightarrow \widehat{BEC} = 90^o$
$CD\perp AB$ $(gt)$
$\Rightarrow \widehat{BDC} = 90^o$
Xét tứ giác $BDEC$ có:
$\widehat{BEC} = \widehat{BDC} = 90^o$
$\widehat{BEC}$ và $\widehat{BDC}$ cùng nhìn cạnh $BC$
nên $BDEC$ là tứ giác nội tiếp
2. Xét $∆ADE$ và $∆ACB$ có:
$\widehat{BAC}:$ góc chung
$\widehat{ADE} = \widehat{ACB}$ (cùng bù $\widehat{BDE}$)
Do đó $∆ADE\sim ∆ACB$ $(g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AD}{AC} = \dfrac{AE}{AB}$
Hay $AB.AD = AC.AE$
3. Dễ dàng chứng minh được:
• $BDHK$ nội tiếp ($\widehat{BDH} + \widehat{BKH} = 180^o$)
$\Rightarrow \widehat{DKH} = \widehat{DBH}$ (cùng nhìn cạnh $DH$) $(1)$
• $CEHK$ nội tiếp ($\widehat{CEK} + \widehat{CKH} = 180^o$)
$\Rightarrow \widehat{EKH} = \widehat{ECH}$ (cùng nhìn cạnh $EH$) $(2)$
Ta lại có: $\widehat{ECH} = \widehat{DBH}$ (cùng phụ $\widehat{BAC}$) $(3)$
Từ $(1)(2)(3) \Rightarrow \widehat{DHK} = \widehat{EHK}$
Hay $AK$ là phân giác của $\widehat{DKE}$
