a) Để $\frac{8a + 19}{4a + 1}$ ∈ Z
thì: 8a + 19 $\vdots$ 4a + 1
mà 2 . ( 4a + 1 ) $\vdots$ 4a + 1
nên: ( 8a + 19 ) - 2 . ( 4a + 1 ) $\vdots$ 4a + 1
⇒ 8a + 19 - 8a - 2 $\vdots$ 4a + 1
⇒ 17 $\vdots$ 4a + 1
mà a ∈ N
⇒ 4a + 1 ∈ Ư(17) = {1;17}
⇒ 4a ∈ {0;16}
⇒ a ∈ {0;4}
Vậy $\frac{8a + 19}{4a + 1}$ ∈ Z khi a ∈ {0;4}
b) Ta có: $\frac{5a - 17}{4a - 23}$ = $\frac{\frac{5}{4} . (4a - 23) + \frac{47}{4} }{4a - 23}$ = $\frac{5}{4}$ + $\frac{\frac{47}{4}}{4a - 23}$ = $\frac{5}{4}$ + $\frac{47}{4.(4a - 23)}$
Để $\frac{5a - 17}{4a - 23}$ đạt giá trị lớn nhất thì $\frac{47}{4.(4a - 23)}$ đạt giá trị lớn nhất
+) Nếu 4 . (4a - 23) < 0 thì: $\frac{5a - 17}{4a - 23}$ < 0 (loại)
+) Nếu 4 . (4a - 23) > 0 thì: 4a - 23 > 0
⇒ 4a > 23
⇒ a > 5
$\frac{47}{4.(4a - 23)}$ đạt giá trị lớn nhất ⇔ 4 . (4a - 23) là số nguyên dương nhỏ nhất
⇔ 4a - 23 là số nguyên dương nhỏ nhất
⇔ 4a - 23 = 1
⇔ 4a = 24
⇔ a = 6 (thỏa mãn điều kiện a > 5)
Khi đó, $\frac{5a - 17}{4a - 23}$ = $\frac{5.6-17}{4.6 - 23}$ = 13
Vậy Max $\frac{5a - 17}{4a - 23}$ = 13 ⇔ a = 6
