Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Bài 2:
Câu 1/
Ta có : `2x + y = z – 38` nên `2x + y – z = – 38`
+ Vì `3x=4y=5z – 3x – 4y` nên `3x=5z – 3x – 3x`
`⇒ 3x = 5z – 6x ⇒ 9x-5z`
`⇒\frac{x}{5}=\frac{z}{9}\ \frac{x}{20}=\frac{z}{36}\ (1)`
+ Vì `3x = 4y⇒\frac{x}{4}=\frac{y}{3}⇒\frac{x}{20}=\frac{y}{15}\ (2)`
Từ `(1)` và `(2)` suy ra `\frac{x}{20}=\frac{y}{15}=\frac{z}{36}`
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
`\frac{x}{20}=\frac{y}{15}=\frac{z}{36}=\frac{2x+y-z}{2.20+15-36}=\frac{-38}{19}=-2`
Do đó : `\frac{x}{20}=-2 ⇒ x=20.(-2)=-40`
`\frac{y}{15}=-2 ⇒ x=15.(-2)=-30`
`\frac{z}{36}=-2 ⇒ x=36.(-2)=-72`
Vậy `x = -40 ; y = -30 ; z = - 72`
Câu 2/
Ta có: `\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{ab}{cd}` nên `\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{2ab}{2cd}`
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
`\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{2ab}{2cd}=\frac{a^2+b^2+2ab}{c^2+d^2+2cd}=\frac{a^2+b^2-2ab}{c^2+d^2-2cd}=\frac{(a^2+ab)+(b^2+ab)}{(c^2+cd)+(d^2+cd)}=\frac{(a^2-ab)+(b^2-ab)}{(c^2-cd)+(d^2-cd)}=\frac{(a+b)^2}{(c+d)^2}=\frac{(a-b)^2}{(c-d)^2}`
Suy ra `(\frac{a+b}{c+d})^2=(\frac{a-b}{c-d})^2 ⇒ \frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}` hoặc `\frac{a+b}{c+d}=\frac{b-a}{c-d}`
+ Với `\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}` thì `(a+b).(c-d)=(a-b).(c+d)`
`⇒ac - ad +bc – bd = ac + ad –bc - bd`
`⇒ad = bc⇒\frac{a}{b}=\frac{c}{d} `
+ Với `\frac{a+b}{c+d}=\frac{b-a}{c-d}` thì `(a+b).(c-d)=(b-a).(c+d)`
`⇒ac - ad +bc – bd = bc + bd –ac - ad`
`⇒ac = bd⇒\frac{a}{b}=\frac{d}{c}`
Vậy nếu `\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{ab}{cd}` với `a, b, c, d \ne 0; c \ne - d` thì `\frac{a}{b}=\frac{c}{d} ` hoặc `\frac{a}{b}=\frac{d}{c}`
Bài 3:
Câu 1/
Với mọi n nguyên dương, ta có `4^{n+3}+4^{n+2}-4^{n+1}-4^n=4^n.(4^3+4^2-4-1)`
`=4^n.(64+16-4-1)=4^n.75`
`=4^{n-1}.4.75=300.4^{n-1}`
Mà `300.4^{n-1}` chia hết cho 300 ( với mọi n nguyên dương )
Nên `4^{n+3}+4^{n+2}-4^{n+1}-4^n` chia hết cho 300 ( với mọi n nguyên dương )
Câu 2/
Điều kiện :` x \in Z ; x ≠ 12`
Biến đổi `Q=\frac{27-2x}{12-x}=\frac{2.(12-x)+3}{12-x}=2+\frac{3}{12-x}`
Ta có `2 \in Z; x \in Z ; x ≠ 12`
nên Q có giá trị nguyên khi và chỉ khi `\frac{3}{12-x}` có giá trị nguyên
Mà `\frac{3}{12-x}` có giá trị nguyên khi và chỉ khi `12-x \in Ư(3)`
`Ư(3)={-3;-1;1;3}`
+ Nếu `12 - x = - 3` thì `x = 15` (thỏa mãn điều kiện)
+ Nếu `12 - x = -1` thì `x = 13` (thỏa mãn điều kiện)
+ Nếu `12 - x = 1` thì `x = 11` (thỏa mãn điều kiện)
+ Nếu `12 - x = 3` thì `x = 9` (thỏa mãn điều kiện)
Vậy Q có giá trị nguyên khi và chỉ khi `x \in {9;11;13;15}`
Bài 4:
Ta có: `H=(3x-2y)^2-(4y-6x)^2-|xy-24|`
`H=(3x-2y)^2-4.(2y-3x)^2-|xy-24|`
`H=(3x-2y)^2-4.(3x-2y)^2-|xy-24|`
`H=-3.(3x-2y)^2-|xy-24|`
`H=-[3.(3x-2y)^2+|xy-24|]`
Ta có `3.(3x-2y)^2≥0` với mọi giá trị của x,y
`|xy-24| ≥0` với mọi giá trị của x, y
Do đó `3.(3x-2y)^2+|xy-24|≥0` với mọi giá trị của x, y
Nên `-[3.(3x-2y)^2+|xy-24|]≤0` với mọi giá trị của x, y
Hay `H ≤ 0` với mọi giá trị của x, y
Dấu ‘‘ = ’’ xảy ra khi và chỉ khi `3x-2y=0` và `xy-24=0\ (1)`
+ Với `3x-2y=0` thì `3x = 2y⇒\frac{x}{2}=\frac{y}{3}`
Đặt `\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=k`. Khi đó `x = 2k ; y = 3k`
Thay `x = 2k` và `y = 3k` vào (1) ta được
`2k . 3k - 24 = 0`
`⇔ 6k^2 = 24`
`⇔ k^2 = 4`
`⇔` \(\left[ \begin{array}{l}k=2\\k=-2\end{array} \right.\)
+ Với `k = 2` thì `x = 2.2 = 4`
`y = 3.2 = 6`
+ Với k = - 2 thì `x = 2.(-2) = - 4`
`y = 3.(-2) = - 6`
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức H là `0` khi và chỉ khi `x = 4; y = 6`
hoặc `x = - 4; y = - 6`
Bài 5:
1) Chứng minh : BE = CD
+ Ta có: `\hat{DAC}=\hat{DAB}+\hat{BAC}` ( Vì tia AB nằm giữa 2 tia AD và AC )
Mà `\hat{BAD}=90^0` (Vì `AB \bot AD` tại A )
Nên `\hat{DAC}=90^0+\hat{BAC}` (1)
+ Ta có: `\hat{BAE}=\hat{CAE}+\hat{BAC}` ( Vì tia AC nằm giữa 2 tia AB và AE )
Mà `\hat{CAE}=90^0` (Vì `AE \bot AC` tại A )
Nên `\hat{BAE}=90^0+\hat{DAC}` (2)
Từ (1) và (2) suy ra `\hat{BAE}=\hat{DAC}`
Xét `∆ ABE` và `∆ ADC` có :
`AB = AD` (GT)
`\hat{BAE}=\hat{DAC}` (chứng minh trên)
`AE = AC` (GT)
Do đó: `∆ABE = ∆ ADC` (c – g - c)
Suy ra: `BE = CD` ( hai cạnh tương ứng)
2) Chứng minh: `MA \bot BC`
+ Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho M là trung điểm của AN
Từ D kẻ DF vuông góc với MA tại F
Xét `∆ MAE` và `∆ MDN` có :
`MN = MA` (Vì M là trung điểm của AN )
`\hat{AME}=\hat{DMN}` (chứng minh trên)
`ME = MD` (Vì M là trung điểm của DE )
Do đó: `∆ MAE = ∆ MND` (c – g - c)
Suy ra `AE = DN` ( hai cạnh tương ứng )
`\hat{NDM}=\hat{MEA}` ( hai góc tương ứng )
Mà `\hat{NDM}` và `\hat{MEA}`ở vị trí so le trong của hai đường thẳng AE và DN
Nên AE // DN ( dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song )
Suy ra: `\hat{ADN}+\hat{DAE}=180^0` (Vì là hai góc trong cùng phía ) (3)
