Đáp án:
a) $ x = ± 1; x = ±\sqrt[]{2}$
b) Vô nghiệm
c) Vô nghiệm
d) $x = 3$
e) $x = - 2; x = 25$
f) $x = 3; x = - 5$
Giải thích các bước giải:
a)Điều kiện $x² ≥ 1 ⇔ - 1 ≤ x; x ≥ 1$
$\sqrt[]{x² - 1} + 1 = x²$
$ ⇔ \sqrt[]{x² - 1} - (x² - 1) = 0$
$ ⇔ \sqrt[]{x² - 1}(1 - \sqrt[]{x² - 1}) = 0$
@ $\sqrt[]{x² - 1} = 0 ⇔ x² - 1 = 0 ⇔ x = ± 1$
@ $ 1 - \sqrt[]{x² - 1} = 0 ⇔ \sqrt[]{x² - 1} = 1 ⇔ x² = 2 ⇔ x = ±\sqrt[]{2} $
b)Điều kiện $: x + 5 ≥ 0; 2 - x ≥ 0 ⇒ - 5 ≤ x ≤ 2 (1)$
$\sqrt[]{x + 5} + \sqrt[]{2 - x} = x² - 25(*)$
$⇒ x² - 25 ≥ 0 ⇔ x ≤ - 5; x ≥ 5 (2)$
$⇒ x = - 5 $ thỏa điều kiện $(1); (2)$ thay vào $(*)$ không thỏa
Vậy $(*)$ vô nghiệm.
c) Điều kiện $ x - 1 ≥ 0$
Đặt $ y = \sqrt[]{x - 1} ≥ 0 ⇒ x = y² + 1$ thay vào PT
$ \sqrt[]{x + 5 - 4\sqrt[]{x - 1}} + \sqrt[]{x + 8 - 6\sqrt[]{x - 1}}= 1$
$ ⇔ \sqrt[]{y² - 4y + 6} + \sqrt[]{y² - 6y + 9} = 1$
$ ⇔ \sqrt[]{(y - 2)² + 2} + \sqrt[]{(y - 3)²} = 1$
Vế trái $ = \sqrt[]{(y - 2)² + 2} + \sqrt[]{(y - 3)²} > \sqrt[]{2} > 1$
Vậy PT vô nghiệm
d) Điều kiện $ 8x + 1 ≥ 0; 3x - 5 ≥ 0; 7x + 4 ≥ 0; 2x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ \frac{5}{3}$
$\sqrt[]{8x + 1} + \sqrt[]{3x - 5} = \sqrt[]{7x + 4} + \sqrt[]{2x - 2} $
$⇔ \sqrt[]{8x + 1} - \sqrt[]{7x + 4} + \sqrt[]{3x - 5} - \sqrt[]{2x - 2} = 0$
$⇔ \frac{(8x + 1) - (7x + 4)}{\sqrt[]{8x + 1} + \sqrt[]{7x + 4}} + \frac{(3x - 5) - (2x - 2)}{\sqrt[]{3x - 5} + \sqrt[]{2x - 2}} = 0$
$⇔ \frac{x - 3}{\sqrt[]{8x + 1} + \sqrt[]{7x + 4}} + \frac{x - 3}{\sqrt[]{3x - 5} + \sqrt[]{2x - 2}} = 0$
$⇔ (x - 3)[\frac{1}{\sqrt[]{8x + 1} + \sqrt[]{7x + 4}} + \frac{1}{\sqrt[]{3x - 5} + \sqrt[]{2x - 2}}] = 0$
$⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3 (TM)$
e) Đặt $: u = \sqrt[3]{x + 2}; v = \sqrt[3]{25 - x}$ ta có hệ PT
$\left \{ {{u + v = 3 } \atop {u³ + v³ = 27}} \right. ⇔ \left \{ {{u + v = 3 (1)} \atop {(u + v)³ - 3vu(u + v) = 27 (2)}} \right. ⇔ \left \{ {{u + v = 3 } \atop {uv = 0 }} \right.$
@ $ u = 0 ⇔ x + 2 ⇔ x = - 2$
@ $ v = 0 ⇔ 25 - x = 0 ⇔ x = 25$
f) $x² + 2x - 9 = \sqrt[]{6 + 4x + 2x²}$
$ ⇔2(x² + 2x - 9) = 2\sqrt[]{2(x² + 2x + 3)}$
$ ⇔2(x² + 2x + 3) - 2\sqrt[]{2(x² + 2x + 3)} - 24 = 0$
$ ⇔ [\sqrt[]{2(x² + 2x + 3)} - 6].[\sqrt[]{2(x² + 2x + 3)} + 4] = 0$
$ ⇔ \sqrt[]{2(x² + 2x + 3)} - 6 = 0$
$ ⇔ \sqrt[]{2(x² + 2x + 3)} = 6$
$ ⇔ 2(x² + 2x + 3) = 36$
$ ⇔ x² + 2x - 15 = 0$
$ ⇔ x = 3; x = - 5$
