Ta có: Hình thang $ABCD$ cân
$⇒\widehat{ADC}=\widehat{BCD}$
$⇒\widehat{ODC}=\widehat{OCD}$
(do $AD$ cắt $BC$ tại $O$)
$⇒ΔOCD$ cân tại $O$
$⇒OC=OD$
Mà $AD=BC$(hthang $ABCD$ cân$
$⇒OD-AD=OC-BC$
Hay $OA=OB⇒ΔOAB$ cân tại $O$
Xét $ΔABD$ và $ΔBAC$ có:
$AC=BD$
$AD=BC(cmt)$
$AB$ chung
$⇒ΔABD=ΔBAC(c.c.c)$
$⇒\widehat{ABD}=\widehat{BAC}$
$⇒ΔEAB$ cân tại $E$
$⇒EA=EB$
Xét $ΔOAE$ và $ΔOBE$ có:
$OA=OB$
$OE$ chung
$EA=EB$
$⇒ΔOAE=ΔOBE(c.c.c)$
$⇒\widehat{AOE}=\widehat{BOE}$
$⇒OE$ là phan giác $\widehat{OAB}$
Xét $ΔOAB$ cân tại $O$ có:
$OE$ là pgiac
$⇒OE$ đồng thời là đường trung trực của đoạn $AB$
Xét $ΔOCD$ có $OE$ là đường phân giác $\widehat{OAB}$ hay $\widehat{OCD}$
$⇒OE$ là đường trung trực của $CD$
