Đáp án:

Giải thích các bước giải:

1) $\left \{ {{xy + x + 1 = 7y} \atop {x²y² + xy + 1 = 13y²}} \right. ⇔\left \{ {{x + \frac{x}{y} + \frac{1}{y} = 7 (1)} \atop {x² + \frac{x}{y} + \frac{1}{y²} = 13 (y \neq 0) (2)}} \right.$ 

$⇔\left \{ {{x + \frac{x}{y} + \frac{1}{y} = 7 } \atop {(x + \frac{1}{y})² + (x + \frac{1}{y}) - 20 = 0 (3) = (1) + (2)}} \right.$ 

$⇔\left \{ {{ \frac{x}{y}  = 7 - (x + \frac{1}{y})} \atop {(x + \frac{1}{y} - 4)(x + \frac{1}{y} + 5) = 0}} \right.$ 

$⇔\left \{ {{x.\frac{1}{y} = 3 } \atop {x + \frac{1}{y} = 4}} \right.$ hoặc $⇔\left \{ {{x.\frac{1}{y} = 12 } \atop {x + \frac{1}{y} = - 5}} \right.$ ( vô nghiệm)

$⇔\left \{ {{x = 3 } \atop {y = 1}} \right.$hoặc $\left \{ {{x = 1 } \atop { y = \frac{1}{3}}} \right.$

2) $\left \{ {{xy - 4x - y + 2 = 0} \atop {x² - 2x = y² - 8y + 18}} \right. ⇔ \left \{ {{(x - 1)(y - 4) = 2} \atop {(x - 1)² - (y - 4)² = 3 }} \right.$ 

$⇒ \left \{ {{(x - 1)²(y - 4)² = 4 (*)} \atop {(x - 1)² - (y - 4)² = 3 }} \right. ⇔ \left \{ {{(x - 1)² = 4} \atop {(y - 4)² = 1 }} \right.$ 

$ ⇔ \left \{ {{x - 1 = ± 2} \atop {y - 4 = ± 1 }} \right. ⇔ \left \{ {{x = - 1; 3} \atop {y = 3; 5 }} \right.$ 

Do có phép bình phương $(*)$ nên bạn tự hoán vị

tổ hợp từng cặp nghiệm $(x; y)$ thử lại rồi kết luận

3) Điều kiện $ x ≥ 1 ⇒ y ≥ 1$

Biến đổi $PT$ thứ nhất $: x³ + y³ = xy\sqrt[]{2(x² + y²)} $

$ ⇔ x^{6} + y^{6} + 2x³y³ = 2x²y²(x² + y²) $

$ ⇔ x^{6} + y^{6} + 2x³y³ -  2x²y²(x² + y²) = 0 $

$ ⇔ (x - y)²(x^{4} + y^{4} + 2x²y + 2xy³ + x²y²) = 0$

$ ⇔ x = y $ thay vào $PT$ thứ hai:

$ 4\sqrt[]{x + \sqrt[]{x² - 1}} = 9(x - 1)\sqrt[]{2(x - 1)} $

$ ⇔ 2\sqrt[]{2x + 2\sqrt[]{x² - 1}} = 9(x - 1)\sqrt[]{x - 1} $

$ ⇔ 2\sqrt[]{(\sqrt[]{x + 1} + \sqrt[]{x - 1})²} = 9(x - 1)\sqrt[]{x - 1} $

$ ⇔ 2(\sqrt[]{x + 1} + 2\sqrt[]{x - 1})= 9(x - 1)\sqrt[]{x - 1} (1)$

Đặt $ u = \sqrt[]{x + 1} > 0; v = \sqrt[]{x - 1} ≥ 0 ⇒ u² - v² = 2$ thay vào $(1)$:

$(u² - v²)(u + v) = 9v³ ⇔ u³ + u²v - uv² - 10v³ = 0 ⇔$

$ ⇔ (u - 2v)(u² + 3uv + 5v²) = 0 ⇔ u = 2v ⇔ u² = 4v²$

$ ⇔ x + 1 = 4(x - 1) ⇔ x = \frac{5}{3} ⇒ y = \frac{5}{3} (TM)$ 

4)Điều kiện $ x \neq 0$

$\left \{ {{x(x + y + 1) - 3 = 0} \atop {(x + y)² - \frac{5}{x²} + 1 = 0 }} \right. ⇔ \left \{ {{x(x + y) + x  = 3} \atop {x²(x + y)²  + x² = 5 }} \right. $

$ ⇔ \left \{ {{t + x = 3} \atop {t²  + x² = 5 }} \right. (t = x(x + y)  ⇔ \left \{ {{t + x = 3} \atop {tx = 2}} \right. (t = x(x + y) $ 

$ ⇔ \left \{ {{x = 2} \atop {t = 1 }} \right. (t = x(x + y)$ hoặc $ \left \{ {{x = 1} \atop {t = 2}} \right. (t = x(x + y) $ 

$ ⇔ \left \{ {{x = 2} \atop {x(x + y) = 1 }} \right.$ hoặc $ \left \{ {{x = 1} \atop {x(x + y) = 2}} \right.$ 

$ ⇔ \left \{ {{x = 2} \atop {y = - \frac{3}{2}}} \right.$ hoặc $ \left \{ {{x = 1} \atop {y = 1}} \right.$