Vì vai trò của `a,b,c` như nhau ta giả sử:
`a\geb\gec>0`
`⇒ 1/c \ge 1/b \ge 1/a`
`⇒ 1/c + 1/b + 1/a \le 1/c + 1/c + 1/c`
`⇔ 4/5 \le 3/c`
`⇒ 4c \le 15 `
`⇔ c \le 15:4`
`⇔ c \le 3,75`
Mà `c∈NN**⇒ c∈{1;2;3}.`
Ta có `3` trường hợp:
`TH_1:`
`c=1` `⇒ 1/a + 1/b + 1 = 4/5`
`⇔1/a+1/b=4/5-1`
`⇔1/a+1/b=-1/5`
Mà `a,b∈NN**⇒ 1/a + 1/b >0`
Mà `-1/5 <0` `⇒1/a+1/b=-1/5⇒` vô lý.
Vậy ta loại trường hợp `c=1.`
`TH_2:`
`c=2 ⇒ 1/a+1/b + 1/2 = 4/5`
`⇔ 1/a+1/b = 4/5 - 1/2`
`⇔1/a+1/b= 3/10`
Ta có: ` 1/b \ge 1/a` $(cmt)$
`⇒ 1/a+1/b \le 1/b+ 1/b`
`⇔ 3/10 \le 2/b `
`⇒3b\le2.10`
`⇔ b \le 2.10:3`
`⇒ b\le 6,666...`
Mà `b∈NN**⇒ b∈{1;2;3;4;5;6}.`
Ta có `6` trường hợp:
Vì `a∈NN**⇒1/a>0.`
`+) b=1 ⇒ 1/a + 1/1 + 1/2 = 4/5 ⇔ 1/a = 4/5 - 1/1 - 1/2 = -7/10` (loại, vì `1/a < 0` )
`+) b=2 ⇒ 1/a + 1/2 + 1/2 = 4/5 ⇔ 1/a = 4/5 - 1/2 - 1/2 = -1/5` (loại, vì `1/a < 0` )
`+) b=3 ⇒ 1/a + 1/3 + 1/2 = 4/5 ⇔ 1/a = 4/5 - 1/3 - 1/2 = -1/30` (loại, vì `1/a < 0` )
`+) b=4 ⇒ 1/a + 1/4 + 1/2 = 4/5 ⇔ 1/a = 4/5 - 1/4 - 1/2 = 1/20⇒ a=20` (nhận)
`+) b=5 ⇒ 1/a + 1/5 + 1/2 = 4/5 ⇔ 1/a = 4/5 - 1/5 - 1/2 = 1/10⇒ a=10` (nhận)
`+) b=6 ⇒ 1/a + 1/5 + 1/2 = 4/5 ⇔ 1/a = 4/5 - 1/6 - 1/2 = 2/15⇒ a=7,5` (loại, vì `a∉NN**` )
`TH_3:`
`c=3 ⇒ 1/a+1/b + 1/3 = 4/5`
`⇔ 1/a+1/b = 4/5 - 1/3`
`⇔1/a+1/b= 7/15`
Ta có: ` 1/b \ge 1/a` $(cmt)$
`⇒ 1/a+1/b \le 1/b+ 1/b`
`⇔ 7/15 \le 2/b `
`⇒7b\le2.15`
`⇔ b \le 2.15:7`
`⇒ b\le 4,285...`
Mà `b∈NN**⇒ b∈{1;2;3;4}.`
Ta có `4` trường hợp:
Vì `a∈NN**⇒1/a>0.`
`+) b=1 ⇒ 1/a + 1/1 + 1/3 = 4/5 ⇔ 1/a = 4/5 - 1/1 - 1/3 = -8/15` (loại, vì `1/a < 0` )
`+) b=2 ⇒ 1/a + 1/2 + 1/3 = 4/5 ⇔ 1/a = 4/5 - 1/2 - 1/3 = -1/30` (loại, vì `1/a < 0` )
`+) b=3 ⇒ 1/a + 1/3 + 1/3 = 4/5 ⇔ 1/a = 4/5 - 1/3 - 1/3 = 2/15⇒ a=7,5` (loại, vì `a∉NN**` )
`+) b=4 ⇒ 1/a + 1/4 + 1/3 = 4/5 ⇔ 1/a = 4/5 - 1/4 - 1/3 = 13/60⇒ a=60/13` (loại, vì `a∉NN**` )
Vậy ta có các cặp `(a,b,c)` thỏa mãn: `(2;4;20);(2;5;10)` và các hoán vị của chúng.
