`a) m^2+m+1`
`=m^2+2. 1/2.m + 1/4 + 3/4`
`=(m+1/2)^2+3/4`
Có: `(m+1/2)^2` là số chính phương.
`⇒(m+1/2)^2+3/4` không thể là số chính phương.
`⇒m^2+m+1` không thể là số chính phương.
Vậy `m^2+m+1` không thể là số chính phương.
`b)` Gọi `4` số nguyên liên tiếp đó là `n, n+1, n+2, n+3.`
`⇒` tích `4` số nguyên liên tiếp đó là `n(n+1)(n+2)(n+3).`
Ta cần chứng minh: `m(m+1)\nen(n+1)(n+2)(n+3).`
Nhưng ta giả sử điều này ngược lại, tức:
`m(m+1)=n(n+1)(n+2)(n+3).`
`⇔m(m+1)=[n(n+3)][(n+1)(n+2)]`
`⇔m(m+1)=(n^2+3n)(n^2+3n+2)`
Đặt `m^2+3n+1=a`
`pt``⇔(a+1)(a-1)=m(m+1)`
`⇔a^2-1=m^2+m`
`⇔a^2=m^2+m+1`
Mà theo chứng minh câu `a`, `m^2+m+1` không thể là một số chính phương.`
`⇒a^2=m^2+m+1` (vô lí).
`⇒` giả sử sai.
`⇒` `m(m+1)\nen(n+1)(n+2)(n+3).`
Vậy số `m(m+1)` không thể là tích của `4` số nguyên liên tiếp.
