a) Xét $ΔDBC$ vuông tại $D$ có:
$K$ là trung điểm cạnh huyền $BC$ $(gt)$
⇒ $KD = KB = KC$ $(1)$
Xét $ΔEBC$ vuông tại $E$ có:
$K$ là trung điểm cạnh huyền $BC$ $(gt)$
⇒ $KE = KB = KC$ $(2)$
Từ $(1)(2) ⇒ KD = KE$
⇒ $ΔKED$ cân tại $K$
b) Ta có: $ΔKED$ cân tại $K$ (câu a)
$IE = ID$ $(gt)$
⇒ $KI\perp ED$
Trình bày đầy đủ nếu không thừa nhận kết quả rút gọn trên:
Ta có: $IE = ID$ $(gt)$
⇒ $KI$ là trung tuyến ứng với cạnh $ED$
mà $ΔKED$ cân tại $K$ (câu a)
⇒ $KI$ là đường cao ứng với cạnh $ED$
hay $KI\perp ED$
c) Ta có: $KI\perp ED$ (câu b)
$BM\perp ED; \, CN \perp ED$ $(gt)$
⇒ $KI//BM//CN$
mà $KB = KC$
⇒ $IM = IN$ (tính chất đường trung bình)
Ta lại có: $IE = ID$ $(gt)$
⇒ $IM - IE = IN - ID$
hay $EM = DN$
d) Ta có: $KD = KE = KB = KC$
⇒ $BCDE$ nội tiếp đường tròn tâm $K$
$ΔKED$ đều
⇒ $\widehat{DKE} = 60^o$
⇒ $\widehat{DBE} = \dfrac{\widehat{DKE}}{2} = 30^o$ (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn $\overparen{ED}$)
⇒ $\widehat{BAC} = 90^o - \widehat{DBE} = 90 - 30 = 60^o$
Vậy $ΔABC$ cần $\widehat{A} = 60^o$ để $ΔKED$ là tam giác đều
