Đáp án:

Giải thích các bước giải:

1) $ x^{4} + y^{4} - 3 = xy(1 - 2xy)$

$ ⇔ x^{4} + y^{4} = - 2x²y² + xy + 3 $

$ ⇒ 2x²y² ≤ - 2x²y² + xy + 3 ⇔ 4x²y² - xy ≤ 3 $

$ ⇔ (2xy)² - 2(2xy)(\frac{1}{4}) + (\frac{1}{4})² ≤ 3 + (\frac{1}{4})²$ 

$ ⇔ (2xy - \frac{1}{4})² ≤ (\frac{7}{4})² ⇔ - \frac{7}{4} ≤ 2xy - \frac{1}{4} ≤ \frac{7}{4}$ 

$ ⇔ - \frac{3}{2} ≤ 2xy ≤ 2 ⇔ - \frac{3}{4} ≤ xy ≤ 1$ 

Vậy $GTNN $ của $xy = - \frac{3}{4} ⇔ x = - y = ± \frac{\sqrt[]{3}}{2} $ 

$ GTLN $ của $xy = 1 ⇔ x = y = ± 1$

2) $x^{6} + 3x³ + 1 = y^{4}$

$ ⇔ 4x^{6} + 12x³ + 4 - 4y^{4} = 0$

$ ⇔ (2x³ + 3)² - (2y²)² = 5$

$ ⇔ (2x³ + 3 + 2y²)(2x³ + 3 - 2y²) = 5$

Vì $ 2x³ + 3 + 2y² ≥ 2x³ + 3 - 2y² $ nên chỉ có 2 trường hợp :

@ $ \left \{ {{2x³ + 3 + 2y² = - 1 (1)} \atop {2x³ + 3 - 2y² = - 5 (2)}} \right. ⇔\left \{ {{4x³ = - 12 (1) + (2)} \atop {4y² = 4 (1) - (2)}} \right.$(không thỏa $x$ nguyên)

@ $ \left \{ {{2x³ + 3 + 2y² = 5 (3)} \atop {2x³ + 3 - 2y² = 1 (4)}} \right. ⇔\left \{ {{4x³ = 0 (3) + (4)} \atop {4y² = 4 (3) - (4)}} \right. ⇔ \left \{ {{x = 0} \atop {y = ± 1 }} \right.$

3) $x(x + 2)(x + 4)(x + 6) = y²$

$ ⇔ x(x + 6)(x + 4)(x + 2) = y²$

$ ⇔ (x² + 6x)(x² + 6x + 8) - y² = 0$

$ ⇔ (x² + 6x)² + 8(x² + 6x) + 16 - y² = 16$

$ ⇔ (x² + 6x + 4)² -  y² = 16$

$ ⇔ (x² + 6x + 4 + y)(x² + 6x + 4 - y) = 16$

Vì $ (x² + 6x + 4 + y) - (x² + 6x + 4 - y) = 2y$ chẵn

$ ⇒ (x² + 6x + 4 + y); (x² + 6x + 4 -  y)$ đồng thời chẵn

hoặc đồng thời lẻ, và $y$ có nghiệm đối nhau nên chỉ xét các trường hợp sau:

@ $\left \{ {{x² + 6x + 4 + y = - 2 (1)} \atop {x² + 6x + 4 - y = - 8 (2)}} \right. ⇔ \left \{ {{x² + 6x + 4 =  - 5 (1) + (2)} \atop{ y = 3 (1) - (2)}} \right. ⇔ \left \{ {{x = - 3} \atop{ y = 3}} \right. $

$ ⇒ (x; y) = (- 3; ± 3)$

@ $\left \{ {{x² + 6x + 4 + y = - 4 (3)} \atop {x² + 6x + 4 -  y = - 4 (4)}} \right.⇔ \left \{ {{x² + 6x + 4 = - 4 (3) + (4)} \atop{ y = 0 (3) - (4)}} \right.⇔ \left \{ {{x = - 2; - 4 } \atop{ y = 0 }} \right.$

$ ⇒ (x; y) = (- 2; 0); ( - 4; 0)$  

@ $\left \{ {{x² + 6x + 4 + y = 8(5)} \atop {x² + 6x + 4 - y = 2 (6)}} \right.⇔ \left \{ {{x² + 6x + 4 = 5 (5) + (6)} \atop {y = 3 (5) - (6)}} \right.$ ( không thỏa $x$ nguyên)

@ $\left \{ {{x² + 6x + 4 + y = 4 (7)} \atop {x² + 6x + 4 - y = 4 (8)}} \right.⇔ \left \{ {{x² + 6x + 4 = 4 (7) + (8)} \atop{ y = 0 (7) - (8)}} \right.⇔ \left \{ {{x = - 6; x = 0 } \atop{ y = 0 }} \right. $

$ ⇒ (x; y) = (- 6; 0); (0; 0)$