Gọi $S_1; \, S_2$ lần lượt là diện tích của tam giác lớn và tam giác nhỏ
$x \, (cm)$ là số đo một cạnh của tam giác lớn ứng với cạnh $3 \, cm$ của tam giác nhỏ $(x \geq 3)$
$\Rightarrow k = \dfrac{x}{3}$ là tỉ số đồng dạng
Do $k \in \Bbb{N^*}$
nên $x \in B(3)$
Ta có:
$\begin{cases}S_1 - S_2 = 18\\\dfrac{S_1}{S_2} = (\dfrac{x}{3})^2\end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases}S_1 = 18 + S_2\\S_1 = \dfrac{x^2S_2}{9}\end{cases}\\\Leftrightarrow \dfrac{x^2S_2}{9} = 18 + S_2\\\Leftrightarrow S_2 = \dfrac{162}{x^2 - 9}$
$S_2 \in \Bbb{N^*}\\\Leftrightarrow \begin{cases}x^2 - 9 > 0\\ (x^2 - 9) \in Ư(162)\end{cases}$
nên $x^2 - 9 = \left\{6;9;18;27;81;162\right\}$
Ta có bảng giá trị:
$\begin{array}{|l|r}
x^2 - 9 &6&9 & 18 & 27&81 & 162\\
\hline
x^2 &15 & 18 &27 &36 & 90 & 171\\
\hline
x \, (x\in \Bbb{N^*}) & \sqrt{15} \, (l)&3\sqrt{2} \, (l)& 3\sqrt{3} \, (l)&6 \, (nhận)& 3\sqrt{10} \, (l)& 3\sqrt{19} \, (l)&
\end{array}$
Với $x = 6$
$\Rightarrow S_2 = \dfrac{162}{6^2 - 9} = 6 \, cm^2$
$\Rightarrow S_1 = 6 + 18 = 24 \, cm^2$
Vậy diện tích tam giác lớn và tam giác nhỏ lần lượt là $24 \, cm^2$ và $6 \, cm^2$
