Bài 1:
a) Ta có: $\widehat{BGA} = 180^o - (\widehat{GBA} + \widehat{GAB})$
$=180^o - \dfrac{\widehat{A} + \widehat{B}}{2}$
$=180^o - \dfrac{180^o}{2} = 90^o$
$\Rightarrow BG\perp GA$
Chứng minh tương tự, ta được:
$\widehat{G} = \widehat{E} = \widehat{F} = \widehat{H} = 90^o$
$\Rightarrow EFGH$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow EG = HF$
b) Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo $AC, \, BD$
Ta có: $EFGH$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow EF//GF \Rightarrow DF//BH$
$GF//EH \Rightarrow AF//CH$
Xét $ΔABG$ và $ΔCED$ có:
$\widehat{ABG} = \widehat{CDE}$
$\widehat{G} = \widehat{E} = 90^o$
$AB = CD$
Do đó $ΔABG=ΔCED$ (cạnh huyền - góc nhọn)
$\Rightarrow BG = DE$
Xet $ΔBGO$ và $ΔDEO$ có:
$BO = DO$
$BG = DE \, (cmt)$
$\widehat{GBO} = \widehat{EDO}$ (so le trong)
Do đó $ΔBGO=ΔDEO\, (c.g.c)$
$\Rightarrow \widehat{BOG} = \widehat{DOE}; \, GO = EO$
$B, O, D$ thẳng hàng
$\Rightarrow G, O, E$ thẳng hàng
$\Rightarrow O$ là trung điểm $EG$
$\Rightarrow O$ là giao điểm hai đường chéo $EG, \, HF$
mà $O$ là giao điểm hai đường chéo $AC, \, BD$
Vậy $ABCD$ và $EFGH$ có cùng tâm
Bài 2:
Xét $ΔAMQ$ và $ΔBNM$ có:
$\widehat{A} = \widehat{B} = 90^o$
$AM = BN$
$AQ = BM$
Do đó $ΔAMQ=ΔBNM$ (hai cạnh góc vuông)
$\Rightarrow MN = MQ; \, \widehat{AMQ} = \widehat{BNM}$
mà $\widehat{BNM} + \widehat{BMN}=90^o$
$\Rightarrow \widehat{AMQ} + \widehat{BMN} = 90^o$
$\Rightarrow \widehat{NMQ} = 90^o$
Chứng minh tương tự với các cặp tam giác vuông còn lại, ta được:
$MN = NP = PQ = QM$
$\widehat{M} = \widehat{N} = \widehat{P} = \widehat{Q} = 90^o$
Do đó $MNPQ$ là hình vuông
b) Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$
$\Rightarrow O = AC\cap BD$
Xét $ΔAOM$ và $ΔCOP$ có:
$AM=CP \, (gt)$
$AO = CO$
$\widehat{MAO} = \widehat{PCO} = 45^o$
Do đó $ΔAOM=ΔCOP \, (c.g.c)$
$\Rightarrow \widehat{AOM} = \widehat{COP}; \, MO = OP$
mà $A, O, C$ thẳng hàng
$\Rightarrow M, O, P$ thẳng hàng
$\Rightarrow O$ là trung điểm của đường chéo $MP$
$\Rightarrow O$ là tâm của $MNPQ$
$\Rightarrow ABCD, \, MNPQ$ có cùng tâm
c) Gọi $d$ là một trục của hình vuông $ABCD$
$d$ cắt $AB, \, CD$ lần lượt tại $E, \, F$
$ABCD$ và $MNPQ$ có cùng trục đối xứng
$\Leftrightarrow d$ là trục đối xứng của $MNPQ$
$\star$ Trường hợp 1: $M$ đối xứng $N$ qua $d$
$\Rightarrow d\perp MN$
mà $d\perp AB$
$M\in AB; \, N\in BC$
$\Rightarrow M\equiv A; \, N \equiv B$
$\Rightarrow P\equiv C; \, Q\equiv D$
$\star$ Trường hợp 2: $M$ đối xứng $P$ qua $d$
$\Rightarrow d\perp MP$
mà $M\in AB; \, P \in CD$
$d \not\perp MP$
$\Rightarrow d \equiv MP$
$\Rightarrow M\equiv E; \, P\equiv F$
$\Rightarrow N$ là trung điểm $BC$; $Q$ là trung điểm $AD$
$\star$ Trường hợp 3: $M$ đối xứng $Q$ qua $d$
$\Rightarrow d\perp MQ$
mà $M \in AB; \, Q \in AD$
$\Rightarrow M \equiv B; \, Q \equiv A$
$\Rightarrow N\equiv C; \, P \equiv D$
Vậy các điểm $M, N, P, Q$ trùng với hai đầu mút hoặc trung điểm của các cạnh $AB,BC,CD,DA$ thì $MNPQ$ và $ABCD$ có cùng trục đối xứng
