Đáp án:
$\begin{array}{l}
a)AB:AC = 3:4\\
\Rightarrow \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{4}\\
\Rightarrow AB = \frac{3}{4}.AC\\
\Rightarrow AB + AC = 21\\
\Rightarrow \frac{3}{4}AC + AC = 21\\
\Rightarrow \frac{7}{4}AC = 21\\
\Rightarrow AC = 12\left( {cm} \right)\\
\Rightarrow AB = 9\left( {cm} \right)\\
\Rightarrow BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} \\
= \sqrt {{9^2} + {{12}^2}} = \sqrt {225} = 15\left( {cm} \right)\\
\Rightarrow AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{9.12}}{{15}} = 7,2\left( {cm} \right)\\
BH = \sqrt {A{B^2} - A{H^2}} \\
= \sqrt {{9^2} - 7,{2^2}} = 5,4\\
\Rightarrow CH = 15 - 5,4 = 9,6\left( {cm} \right)
\end{array}$
b)Gọi E là trung điểm của AC
=> DE vuông góc với AC tại E
=> DE//AB
Ta có:
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \widehat {DAE} = \widehat {ABC}\\
Do:\widehat {DCE} = \widehat {DAE}\\
\Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {DCE}\\
\text{Mà}:\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = {90^0}\\
\Rightarrow \widehat {DCE} + \widehat {ACB} = {90^0}\\
\Rightarrow \widehat {DCB} = {90^0}
\end{array}$
Vậy tam giác BDC vuông tại C.
