Đáp án:

Giải thích các bước giải:

2) Đặt $ u = y - \sqrt[]{y² + 1}; v = y + \sqrt[]{y² + 1}$ 

$ ⇒ u + v = 2y; uv = (y - \sqrt[]{y² + 1})(y + \sqrt[]{y² + 1}) = - 1$

$ x = \sqrt[3]{ y - \sqrt[]{y² + 1}} + \sqrt[3]{ y + \sqrt[]{y² + 1}} = \sqrt[3]{u} + \sqrt[3]{v}$ 

$ ⇒ x³ = (\sqrt[3]{u} + \sqrt[3]{v})³ = u + v + 3\sqrt[3]{uv}.(\sqrt[3]{u} + \sqrt[3]{v})$

$ = 2y + 3(- 1)x = 2y - 3x ⇒ x³y = 2y² - 3xy (1)$

$ ⇒ x^{4} = x³.x = 2xy - 3x² (2)$

$ A = x^{4} + x³y + 3x² + xy - 2y² + 1$

$ = (2xy - 3x²) + (2y² - 3xy) + 3x² + xy - 2y² + 1 = 1$

3) $x\sqrt[]{1 - y²} + y\sqrt[]{1 - 2²} = 1 (1)$

$ ⇔ (x\sqrt[]{1 - y²})² - (y\sqrt[]{1 - 2²})² = x\sqrt[]{1 - y²} - y\sqrt[]{1 - x²} $

$ x\sqrt[]{1 - y²} - y\sqrt[]{1 - x²} = x² - y² (2)$

$ (1) + (2) : 2x\sqrt[]{1 - y²} = 1 + x² - y²$

$ ⇒ 4x²(1 - y²) = 1 + x^{4} + y^{4} + 2x² - 2y² - 2x²y²$

$ ⇔ 1 + x^{4} + y^{4} - 2x² - 2y² + 2x²y²$

$ ⇔ (x² + y² - 1)² = 0 ⇔ (S - 1)² = 0 ⇔ S = 1$

5.1) Để dễ nhìn chia 2 vế $BĐT$ cho $xyz$ và đặt:

$t = \frac{a}{x}; u = \frac{b}{y}; v = \frac{c}{z} $

Thay vào ta có $BĐT$ tương đương:

$(tuv + 1)³ ≤ (t³ + 1)(u³ + 1)(v³ + 1)$

$ ⇔ t³u³v³ + 1 + 3t²u²v² + 3tuv ≤ t³u³v³ + 1 + t³u² + u³v³ + v³t³ + t³ + u³ + v³ $

$ ⇔ 3t²u²v² + 3tuv ≤ (t³u³ + u³v³ + v³t³) + (t³ + u³ + v³)(*)$

Theo cô si (*) luôn đúng vì:

$ 3t²u²v² ≤ t³u³ + u³v³ + v³t³$ và $ 3tuv ≤ t³ + u³ + v³$

5.2) $ab + bc + ca = 3$

$a^{6} + b^{6} + 1 ≥ 3\sqrt[3]{a^{6}.b^{6}.1} = 3a²b²$ Dấu $ '=' ⇔ a = b = 1$ 

$b^{6} + c^{6} + 1 ≥ 3\sqrt[3]{b^{6}.c^{6}.1} = 3b²c² $ Dấu $ '=' ⇔ b = c = 1$ 

$c^{6} + a^{6} + 1 ≥ 3\sqrt[3]{c^{6}.a^{6}.1} = 3c²a² $ Dấu $ '=' ⇔ c = a = 1$ 

$ ⇒ \sqrt[]{a^{6} + b^{6} + 1} + \sqrt[]{b^{6} + c^{6} + 1} + \sqrt[]{c^{6} + a^{6} + 1}$

$ ≥ \sqrt[]{3}(ab + bc + ca) = 3\sqrt[]{3}$