Đáp án:
Giải thích các bước giải:
ĐKXĐ: $a \geq 0$ và $a \neq 1$
a/ $P=(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}-\frac{a}{a-1}):(\sqrt{a}-\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}$
=> $P=[\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}-\frac{a}{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1)}]:\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)-\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}$
=> $P=\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)-a}{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1)}:\frac{a+\sqrt{a}-\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}$
=> $P=\frac{a+\sqrt{a}-a}{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1)}:\frac{a}{\sqrt{a}+1}$
=> $P=\frac{\sqrt{a}}{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1)}.\frac{\sqrt{a}+1}{a}$
=> $P=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}.\frac{1}{(\sqrt{a})^2}$
=> $P=\frac{1}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}$
=> $P=\frac{1}{a-\sqrt{a}}$
b/ Để $P < 0$ thì $\frac{1}{a-\sqrt{a}} < 0$
=> $a-\sqrt{a} < 0$ (do tử > 0)
=> $\sqrt{a}(\sqrt{a}-1) < 0$
Do $\sqrt{a} > 0$ nên $\sqrt{a}-1<0$ (tích 2 số khác dấu mới <0)
=> $\sqrt{a} <1$
=> $(\sqrt{a})^2 < 1$
=> $a < 1$ (ko thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy không có giá trị a nào để $P<0$
c/ Ta có: $a=7-2\sqrt{6}=6-2\sqrt{6}+1=(\sqrt{6}-1)^2$
Có: $P=\frac{1}{a-\sqrt{a}}=\frac{1}{7-2\sqrt{6}-\sqrt{(\sqrt{6}-1)^2}}=\frac{1}{7-2\sqrt{6}-(\sqrt{6}-1)}=\frac{1}{8-3\sqrt{6}}$
d/ $\frac{1}{P}=\frac{1}{\frac{1}{a-\sqrt{a}}}=a-\sqrt{a}=(\sqrt{a})^2-\frac{1}{2}.2.\sqrt{a}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=(\sqrt{a}-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}$
=>$\frac{1}{P} \geq -\frac{1}{4}$
=> GTNN của $\frac{1}{P}$ là $-\frac{1}{4}$ khi $\sqrt{a}=\frac{1}{2}$ <=> $a=\frac{1}{4}$
Chúc bạn học tốt !!!
