Đáp án: a) $Q_{min}=-28$ khi $m=-1$
b) `P_{min}=\frac{-224}{9}` khi `m=\frac{-5}{3}`
Giải thích các bước giải:
Ta có: $Δ=b^2-4ac$
$=[2(m+3)]^2-4.1.(m^2-1)$
$=4m^2+24m+36-4m^2+4$
$=24m+40$
Để phương trình có nghiệm
$⇔Δ≥0$
$⇔24m+40≥0$
`⇔m≥\frac{-5}{3}`
Tại m như trên, áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:
`x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{m^2-1}{1}=m^2-1`
`x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{-2(m+3)}{1}=-2m-6`
$⇒(x_1+x_2)^2=(-2m-6)^2$
$⇒x_1^2+x_2^2+2x_1x_2=4m^2+24m+36$
$⇒x_1^2+x_2^2+2(m^2-1)=4m^2+24m+36$
$⇒x_1^2+x_2^2=4m^2+24m+36-2m^2+2=2m^2+24m+38$
a) Ta có: $Q=x_1^2+x_2^2+11(x_1+x_2)-x_1x_2$
$=(2m^2+24m+38)+11(-2m-6)-(m^2-1)$
$=2m^2+24m+38-22m-66-m^2+1$
$=m^2+2m-27$
$=(m^2+2m+1)-28$
$=(m+1)^2-28$
Do $(m+1)^2≥0∀m$
$⇒Q=(m+1)^2-28≥-28$
Dấu bằng xảy ra
$⇔(m+1)^2=0$
$⇔m+1=0$
$⇔m=-1$ (thỏa mãn)
a) Ta có: $P=x_1^2+x_2^2+10(x_1+x_2)-x_1x_2$
$=(2m^2+24m+38)+10(-2m-6)-(m^2-1)$
$=2m^2+24m+38-20m-60-m^2+1$
$=m^2+4m-21$
`=(m^2+\frac{10}{3}m+\frac{25}{9})+\frac{2}{3}m-\frac{214}{9}`
`=(m+\frac{5}{3})^2+\frac{2}{3}m-\frac{214}{9}`
Do `(m+\frac{5}{3})^2≥0`
`m≥\frac{-5}{3}⇒\frac{2}{3}m≥\frac{2}{3}.\frac{-5}{3}=\frac{-10}{9}`
`⇒(m+\frac{5}{3})^2+\frac{2}{3}m≥\frac{-10}{9}`
`⇒P=(m+\frac{5}{3})^2+\frac{2}{3}m-\frac{214}{9}≥\frac{-10}{9}-\frac{214}{9}=\frac{-224}{9}`
Dấu bằng xảy ra
`⇔(m+\frac{5}{3})^2=0;m=\frac{-5}{3}` (đúng)
