Ta gọi số học sinh giỏi lấy ra ở 3 lần theo thứ tự là $(a, b, c)$.

TH1: $(1,0,2)$

Xác suất chọn ở lần 1 là

$\dfrac{5}{15}.\dfrac{10}{14} +\dfrac{10}{15}.\dfrac{5}{14}= \dfrac{10}{21}$

Xác suất chọn ở lần 2 là

$\dfrac{9}{13}. \dfrac{8}{12} = \dfrac{6}{13}$

Xác suất chọn ở lần 3 là

$\dfrac{4}{11} . \dfrac{3}{10} = \dfrac{6}{55}$

Vậy xác suất trong trường hợp này là

$\dfrac{10}{21} . \dfrac{6}{13} . \dfrac{6}{55} = \dfrac{24}{1001}$

TH2: $(2,0,1)$

Xác suất chọn ở lần 1 là

$\dfrac{5}{15}.\dfrac{4}{14} = \dfrac{2}{21}$

Xác suất chọn ở lần 2 là

$\dfrac{10}{13}. \dfrac{9}{12} = \dfrac{15}{26}$

Xác suất chọn ở lần 3 là

$\dfrac{3}{11} . \dfrac{8}{10} +\dfrac{8}{11}.\dfrac{3}{10}= \dfrac{24}{55}$

Vậy xác suất trong trường hợp này là

$\dfrac{2}{21} . \dfrac{15}{26} . \dfrac{24}{55} = \dfrac{24}{1001}$

TH3: $(1,1,2)$

Xác suất chọn ở lần 1 là

$\dfrac{5}{15}.\dfrac{10}{14}+\dfrac{10}{15}.\dfrac{5}{14} = \dfrac{10}{21}$

Xác suất chọn ở lần 2 là

$\dfrac{4}{13}. \dfrac{9}{12} +\dfrac{9}{13}.\dfrac{4}{12}= \dfrac{6}{13}$

Xác suất chọn ở lần 3 là

$\dfrac{3}{11} . \dfrac{2}{10} = \dfrac{3}{55}$

Vậy xác suất trong trường hợp này là

$\dfrac{10}{21} . \dfrac{6}{13} . \dfrac{3}{55} = \dfrac{12}{1001}$

TH4: $(2,1,1)$

Xác suất chọn ở lần 1 là

$\dfrac{5}{15}.\dfrac{4}{14} = \dfrac{2}{21}$

Xác suất chọn ở lần 2 là

$\dfrac{3}{13}. \dfrac{10}{12} +\dfrac{10}{13}.\dfrac{3}{12}= \dfrac{10}{26}$

Xác suất chọn ở lần 3 là

$\dfrac{2}{11} . \dfrac{9}{10} +\dfrac{9}{11}.\dfrac2{10}= \dfrac{18}{55}$

Vậy xác suất trong trường hợp này là

$\dfrac{2}{21} . \dfrac{10}{26} . \dfrac{18}{55} = \dfrac{12}{1001}$

TH5: $(1,2,2)$

Xác suất chọn ở lần 1 là

$\dfrac{5}{15}.\dfrac{10}{14} +\dfrac{10}{15}.\dfrac{5}{14}= \dfrac{10}{21}$

Xác suất chọn ở lần 2 là

$\dfrac{4}{13}. \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{13}$

Xác suất chọn ở lần 3 là

$\dfrac{2}{11} . \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{55}$

Vậy xác suất trong trường hợp này là

$\dfrac{10}{21} . \dfrac{1}{13} . \dfrac{1}{55} = \dfrac{2}{3003}$

TH6: $(2,2,1)$

Xác suất chọn ở lần 1 là

$\dfrac{5}{15}.\dfrac{4}{14} = \dfrac{2}{21}$

Xác suất chọn ở lần 2 là

$\dfrac{3}{13}. \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{26}$

Xác suất chọn ở lần 3 là

$\dfrac{1}{11} . \dfrac{10}{10} +\dfrac{10}{11}.\dfrac{1}{10}= \dfrac{2}{11}$

Vậy xác suất trong trường hợp này là

$\dfrac{2}{21} . \dfrac{1}{26} . \dfrac{2}{11} = \dfrac{2}{3003}$

Xác suất thỏa mãn đề bài là

$\dfrac{24}{1001} + \dfrac{24}{1001} + \dfrac{12}{1001} + \dfrac{12}{1001} + \dfrac{2}{3003} + \dfrac{2}{3003} = \dfrac{220}{3003}$