a)
Xét $\Delta AEN$:
$AD=DE$ (gt)
$AM=MN$ (gt)
$\to DM$ là đường trung bình của $\Delta AEN$
$\to DM//EN$
mà $EN//BC \to DM//BC\,\,(//EN)$
$\to DMCB$ là hình thang (1)
Vì $DM//BC$
$\to \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AM}{AC}$ (định lí Talet)
mà $AD=\dfrac{1}{3}AB$ (gt)
$\to AM=\dfrac{1}{3}AC$
Có: $AB=AC$ (gt) $\to AD=AM$
Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ACD$:
$AB=AC$ (gt)
$\widehat{A}$: chung
$AM=AD$ (cmt)
$\to \Delta ABM=\Delta ACD$ (c.g.c)
$\to BM=CD$ (2 cạnh tương ứng) (2)
Từ (1), (2) $\to DMCB$ là hình thang cân
b)
Trong tứ giác $DMCB$: $EN//BC$ và $E$ là trung điểm của $DB$
$\to N$ là trung điểm của $MC$ (tính chất đường trung bình)
$\to MN=NC$
Xét $\Delta MNI$ và $\Delta CNB$:
$\widehat{MNI}=\widehat{CNB}$ (đối đỉnh)
$MN=CN$ (cmt)
$\widehat{IMN}=\widehat{BCN}$ (2 góc so le trong của $MI//BC$)
$\to \Delta MNI = \Delta CNB$ (g.c.g)
$\to MI=CB$ (2 cạnh tương ứng)
c)
Xét tứ giác $BMIC$:
$MI//BC$ (vì $DM//BC$)
$MI=BC$ (cmt)
$\to BMIC$ là hình bình hành
$\to BM=IC$ (2 cạnh đối của hình bình hành thì bằng nhau)
mà $BM=CD$ (cmt)
$\to IC=CD\,\,(=BM)$
$\to \Delta DCI$ cân tại $C$
d)
Xét $\Delta ABC$:
$DM//BC$
$\to \dfrac{DM}{BC}=\dfrac{AD}{AB}$ (định lí Talet)
$\to \dfrac{DM}{BC}=\dfrac{1}{3}$
$\to DM=\dfrac{1}{3}BC$
mà $BC=MI$ (cmt)
$\to DM=\dfrac{1}{3}MI \to MI=3MD$ (đpcm)
