Xét $∆ABS$ có:
$FA = FB$
$KB = KS$
$\Rightarrow KF$ là đường trung bình
$\Rightarrow KF//AS; \, JF = \dfrac{1}{2}AS$
Chứng minh tương tự, ta được:
$EL$ là đường trung bình trong $∆ACS$
$\Rightarrow EL//AS; \, EL= \dfrac{1}{2}AS$
Do đó $EFKL$ là hình bình hành
Ta lại có: $KL$ là đường trung bình của $∆BCS$
$\Rightarrow KL//BC$
mà $AS\perp BC$
$\Rightarrow KF\perp KL$
$\Rightarrow EFKL$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow E,F,K,L$ cùng thuộc một đường tròn có tâm là trung điểm $FL$ và $EK$ $(1)$
Chứng minh tương tự dựa vào các đường trung bình, ta được:
$DFJL$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow D,F,J,L$ cùng thuộc một đường tròn có tâm là trung điểm của $DJ$ và $FL$ $(2)$
$DEJK$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow D,E,J,K$ cùng thuộc một đường tròn có tâm là trung điểm $DJ$ và $EK$ $(3)$
Ta cũng có $\widehat{FIL} = 90^o$ $(CI\perp AB)$
$\Rightarrow F, I, L$ cùng thuộc đường tròn có tâm là trung điểm $FL$ $(4)$
$\widehat{KHE} = 90^o$ $(BH\perp AC)$
$\Rightarrow K, H, E$ cùng thuộc đường tròn có tâm là trung điểm $EK$ $(5)$
Từ $(1)(2)(3)(4)(5) \Rightarrow D,E,F,G,H,I,J,K,L$ cùng thuộc một đường tròn
Đường tròn đi qua 9 điểm trên được gọi là đường tròn $Euler$
