Đáp án:
Giải thích các bước giải:
ĐKXĐ $ 5 ≤ x ≤ 7$
Áp dụng $BĐT$ Cô si:
$ \sqrt[]{7 - x} = \sqrt[]{(7 - x).1} ≤ \dfrac{1}{2}[(7 - x) + 1] = 4 - \dfrac{x}{2}(1)$
Dấu $'="$ xảy ra khi $ 7 - x = 1 ⇔ x = 6$
$ \sqrt[]{x - 5} = \sqrt[]{(x - 5).1} ≤ \dfrac{1}{2}[(x - 5) + 1] = \dfrac{x}{2} - 2 (2)$
Dấu $'="$ xảy ra khi $ x - 5 = 1 ⇔ x = 6$
Lại có $: 2 ≤ (x - 6)² + 2 ⇔ 2 ≤ x² - 12x + 38 (3)$
Dấu $'="$ xảy ra khi $ (x - 6)² = 0 ⇔ x = 6$
$(1) + (2) + (3)$ vế theo vế :
$ \sqrt[]{7 - x} + \sqrt[]{x - 5} + 2 ≤ x² - 12x + 38 + 2$
$ ⇔ \sqrt[]{7 - x} + \sqrt[]{x - 5} ≤ x² - 12x + 38 $
Để $ \sqrt[]{7 - x} + \sqrt[]{x - 5} = x² - 12x + 38 $
thì phải xảy ra đồng thời dấu $'='$ ở $(1); (2); (3) ⇔ x = 6$
Vậy $ x = 6 $ là nghiệm duy nhất của $PT$
