Đáp án:
$2a + 3b = 11$
Giải thích các bước giải:
Lấy điểm $A\left( { - 1; - 1} \right),B\left( {2;4} \right)$ thuộc đường thẳng $5x - 3y + 2 = 0$
Ta có:
${Q_{\left( {O,{{45}^0}} \right)}}A = A';{Q_{\left( {O,{{45}^0}} \right)}}B = B'$
Khi đó:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x_{A'}} = \left( { - 1} \right)\cos {45^0} - \left( { - 1} \right)\sin {45^0}\\
{y_{A'}} = \left( { - 1} \right)\sin {45^0} + \left( { - 1} \right)\cos {45^0}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_{A'}} = 0\\
{y_{A'}} = - \sqrt 2
\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {0; - \sqrt 2 } \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
{x_{B'}} = 2.\cos {45^0} - 4.\sin {45^0}\\
{y_{B'}} = 2.\sin {45^0} + 4.\cos {45^0}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_{B'}} = - \sqrt 2 \\
{y_{B'}} = 3\sqrt 2
\end{array} \right. \Rightarrow B'\left( { - \sqrt 2 ;3\sqrt 2 } \right)
\end{array}$
Như vậy:
$\begin{array}{l}
\overrightarrow {A'B'} = \left( { - \sqrt 2 ;4\sqrt 2 } \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{A'B'}}} = \left( {4;1} \right)\\
\Rightarrow A'B':4\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y + \sqrt 2 } \right) = 0\\
\Rightarrow A'B':4x + y + \sqrt 2 = 0\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 4\\
b = 1
\end{array} \right.\\
\Rightarrow 2a + 3b = 2.4 + 3.1 = 11
\end{array}$
Vậy $2a + 3b = 11$
