Đáp án:
$R = a\sqrt2$
Giải thích các bước giải:
Gọi $O=AC\cap BD$
Ta có: $ABCD$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow OA = OB = OC = OD = \dfrac{1}{2}BD$
Qua $O$ kẻ đường thẳng $d\perp (ABCD)$
$\Rightarrow d$ là trục của $(ABCD)$
Áp dụng định lý Pytago, ta được:
$BD^2 = AB^2 + AD^2$
$\Rightarrow BD =\sqrt{a^2 + 2a^2} = a\sqrt3$
$\Rightarrow OA = \dfrac{a\sqrt3}{2}$
Gọi $M$ là trung điểm của $SA$
$\Rightarrow MA = \dfrac{1}{2}SA = \dfrac{a\sqrt5}{2}$
Qua $M$ kẻ trung trực của $SA$ cắt $d$ tại $I$
$\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$
Do $IO\perp OA$
$OA\perp MA$
$MA\perp MI$
Nên $MAOI$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow IA = MO = R$
Áp dụng định lý Pytago, ta được:
$R^2 = MO^2 = OA^2+ MA^2$
$\Rightarrow R = \sqrt{\dfrac{3a^2}{4} + \dfrac{5a^2}{4}} = a\sqrt2$
