Ta có
$y = \sin^6x + \cos^6x + 2$
$= (\sin^2x)^3 + (\cos^2x)^3 + 2$
$= (\sin^2x + \cos^2x)(\sin^4x + \cos^4x - \sin^2x \cos^2x) +2$
$= 1 . [(\sin^2x + \cos^2x)^2 - 3\sin^2x \cos^2x] + 2$
$= 1 - \dfrac{3}{4} \sin^2(2x) + 2$
$= 1 - \dfrac{3}{8} [1 - \cos(4x)] + 2$
$= \dfrac{3}{8} \cos(4x) + \dfrac{21}{8}$
Ta có
$-1 \leq \cos(4x) \leq 1$ với mọi $x$
$\Leftrightarrow \dfrac{9}{4} \leq \dfrac{3}{8} \cos(4x) \leq 3$
Vậy GTNN của hso là $\dfrac{9}{4}$ đạt đc khi $\cos(4x) = -1$ hay $x = (2k+1) \dfrac{\pi}{4}$ và GTLN của hso là $3$ đạt đc khi $\cos(4x) = 1$ hay $x = \dfrac{k\pi}{2}$.
