$A) (a+b-c)^2 - (a-c)^2 - 2ab+2ab$
$=a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ac-(a^2-2ac+c^2)-2ab+2ab$
$=a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ac-a^2+2ac-c^2-2ab+2ab$
$=(a^2-a^2)+b^2+(c^2-c^2)+(2ab-2ab+2ab)-2bc+(-2ac+2ac)$
$=b^2+2ab-2bc$
$B)(a+b+c)^2+(b+c-a)^2 +(c+a-b)^2+(a+b-c)^2$
$=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac+b^2+c^2+a^2+2bc-2ac-2ab+c^2+a^2+b^2+2ac-2ab-2bc+a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ac$
$=a^2+b^2+c^2+a^2+b^2+c^2+a^2+b^2+c^2+a^2+b^2+c^2$
$=4(a^2+b^2+c^2)$