Gọi $I,K$ lần lượt là trung điểm $BE, CD$
Xét $ΔBDE$ có:
$DN = NE \, (gt)$
$BI = IE$ (cách dựng)
$\Rightarrow IN$ là đường trung bình
$\Rightarrow IN = \dfrac{1}{2}BD$
Chứng minh tương tự dựa vào các đường trung bình, ta được:
$NK = \dfrac{1}{2}CE$
$KM = \dfrac{1}{2}BD$
$MI = \dfrac{1}{2}CE$
mà $BD = CE \, (gt)$
nên $IN = NK = KM = MI$
$\Rightarrow MINK$ là hình thoi
$\Rightarrow MN$ là phân giác của $\widehat{INK}$
$\Rightarrow \widehat{INM} = \widehat{KNM}$ $(1)$
Mặt khác:
$IN//BD$ (tính chất đường trung bình)
$\Rightarrow IN/BP$
$\Rightarrow \widehat{INM} = \widehat{BPM} = \widehat{APQ}$ $(2)$ (đồng vị)
$NK//CE$ (tính chất đường trung bình)
$\Rightarrow NK//AC$
$\Rightarrow \widehat{KNM} = \widehat{CQM}$ $(3)$ (đồng vị)
$\widehat{CQM} = \widehat{AQP}$ $(4)$ (đối đỉnh)
$(1)(2)(3)(4)\Rightarrow \widehat{APQ} = \widehat{AQP}$
$\Rightarrow ΔAPQ$ cân tại $A$
$\Rightarrow AP = AQ$
