Đáp án:
a) $V_{S.ABCD} = a^3\sqrt3$
b) $V_{O.MNP} = \dfrac{a^3\sqrt3}{16}$
Giải thích các bước giải:
a) $ABCD$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow S_{ABCD} = AB.AD = a.a\sqrt3 = a^2\sqrt3$
Ta có:
$SB\perp (ABCD)$
$\Rightarrow SB\perp CD$
mà $CD\perp BC$
nên $CD\perp (SBC)$
$\Rightarrow CD\perp SC$
Ta lại có:
$BC\perp CD$
$(SCD)\cap (ABCD) = CD$
$\Rightarrow \widehat{((SCD);(ABCD))} = \widehat{SCB} = 60^o$
$\Rightarrow SB = BC.\tan60^o = a\sqrt3.\sqrt3 = 3a$
Ta được:
$V_{S.ABCD} = \dfrac13S_{ABCD}.SB = \dfrac13.a^2\sqrt3.3a = a^3\sqrt3$
b) Ta có:
$M,N,P$ là trung điểm $SB,SC,SD$
$\Rightarrow (MNP)//(ABCD)$
$\Rightarrow S_{MNP} = \dfrac14S_{BCD} = \dfrac18S_{ABCD}$
Ta lại có:
$O$ là trung điểm $BD$
$\Rightarrow OP = \dfrac12SB; \, OP//SB$ (đường trung bình)
$\Rightarrow OP = \dfrac12SB;\, OP\perp (ABCD)$
$\Rightarrow OP \perp (MNP)$
$\Rightarrow V_{O.MNP} = \dfrac13S_{MNP}.OP = \dfrac13\cdot\dfrac18S_{ABCD}\cdot\dfrac12SB$
$\Rightarrow V_{O.MNP} = \dfrac{1}{16}V_{S.ABCD} = \dfrac{a^3\sqrt3}{16}$
