Giải thích các bước giải:
Ta có:
$\begin{array}{l}
{a^5} - 5{a^3} + 4a\\
= a\left( {{a^4} - 5{a^2} + 4} \right)\\
= a\left( {{{\left( {{a^2}} \right)}^2} - {a^2} - 4{a^2} + 4} \right)\\
= a\left( {{a^2} - 1} \right)\left( {{a^2} - 4} \right)\\
= \left( {a - 2} \right)\left( {a - 1} \right)a\left( {a + 1} \right)\left( {a + 2} \right)
\end{array}$
Với $a\in Z$ thì $a - 2,a - 1,a,a + 1,a + 2$ là $5$ số nguyên liên tiếp.
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {a - 2} \right)\left( {a - 1} \right)a\left( {a + 1} \right)\left( {a + 2} \right) \vdots 3\\
\left( {a - 2} \right)\left( {a - 1} \right)a\left( {a + 1} \right)\left( {a + 2} \right) \vdots 5
\end{array} \right.$
Và trong $5$ số $a - 2,a - 1,a,a + 1,a + 2$ luôn có $1$ số chia hết cho $4$ và ít nhất $1$ số chia hết cho $2$ nhưng không chia hết cho $4$.
Khi đó ta luôn có: $\left( {a - 2} \right)\left( {a - 1} \right)a\left( {a + 1} \right)\left( {a + 2} \right) \vdots 8$
Như vậy: $\left( {a - 2} \right)\left( {a - 1} \right)a\left( {a + 1} \right)\left( {a + 2} \right) \vdots 120$ (Do $3$ số $3,,5,8$ đôi một nguyên tố cùng nhau và $3.5.8=120$)
Hay $\left( {{a^5} - 5{a^3} + 4a} \right) \vdots 120,\forall a \in Z$
Ta có điều phải chứng minh.
