Đáp án:
$m \leq 4$
Giải thích các bước giải:
$y = f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{1}{2}mx^2 + 4x - m$
$y' = f'(x) = x^2 - mx + 4$
Hàm số đồng biến trên $(1;3) \Leftrightarrow y' \geq 0 \quad \forall x \in (1;3)$
$\Leftrightarrow x^2 - mx + 4 \geq 0 \quad \forall x \in (1;3)$
$\Leftrightarrow m \leq \dfrac{x^2 + 4}{x} \quad \forall x \in (1;3)$
$\Leftrightarrow m \leq \mathop{\min}\limits_{x \in (1;3)}\dfrac{x^2 + 4}{x}$
Xét $g(x) = \dfrac{x^2 + 4}{x}$
$\to g'(x) =\dfrac{x^2 - 4}{x^2}$
$g'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2$
Xét bảng biến thiên của $g(x)$ trên $(1;3)$ ta có:
$\begin{array}{|l|cr|}
\hline
x & -\infty & -2 & 0 & 1& & & 2&&&3&&& +\infty\\
\hline
y' & & 0 & \Vert& \vert& - & & 0 & & + &\vert&&+&\\
\hline
&&&\Big\Vert&5&&&&&&\dfrac{13}{3}\\
y & &&\Big\Vert &\Big\vert& \searrow&& & &\nearrow&\Big\vert\\
&&&\Big\Vert&\Big\vert&&&4&&&\Big\vert\\
\hline
\end{array}$
Dựa vào bảng biến thiên, ta được:
$\mathop{\min}\limits_{x \in (1;3)}g(x) = g(2) = 4$
$\to m \leq 4$
