Giải thích các bước giải:
a) Ta có:
$BC$ là dây cung của $(O)$ có $E$ là trung điểm
$\to OE\bot BC=E$
Khi đó:
$\widehat {OMC} + \widehat {OEC} = {90^0} + {90^0} = {180^0}$
$\to OMCE$ là tứ giác nội tiếp.
$\to O,M,E,C$ cùng nằm trên một đường tròn.
b) Ta có:
$\Delta OCA$ có $CM\bot AO=M$ mà $M$ là trung điểm của $OA$
$\to \Delta OCA$ cân ở $C$
$\to CA=CO$
$\to CA=CO=AO=R$
$\to \Delta OCA$ đều.
$\to \widehat{CAO}=60^0$
$\to \widehat{CAB}=60^0$
Xét $\Delta ABC;\widehat {ACB} = {90^0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn); $\widehat {CAB} = {60^0};AB = 2R$
$ \Rightarrow BC = AB\sin \widehat {CAB} = 2R.\sin {60^0} = 2R.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = R\sqrt 3 $
Vậy $BC = R\sqrt 3 $
c) Ta có:
$OC=OB;EC=EB$
$\to OE$ là trung trực của $BC$
$\to NC=NB$ (Do $N\in OE$)
Xét $\Delta OBN;\Delta OCN$ có:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
OB = OC\\
ONchung\\
NB = NC
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \Delta OBN = \Delta OCN\left( {c.c.c} \right)\\
\Rightarrow \widehat {OCN} = \widehat {OBN} = {90^0}\\
\Rightarrow NC \bot OC = C
\end{array}$
$\to NC$ là tiếp tuyến của $(O)$
d) Ta có:
$\begin{array}{l}
\Delta MAC;\widehat {AMC} = {90^0}\\
\Rightarrow M{A^2} + M{C^2} = A{C^2}\left( 1 \right)\\
\Delta MBD;\widehat {BMD} = {90^0}\\
\Rightarrow M{B^2} + M{D^2} = B{D^2}
\end{array}$
$ \Rightarrow M{B^2} + M{D^2} = B{C^2}\left( 2 \right)$ (Do $AB\bot CD=M\to AB$ là trung trực của $CD$)
$\begin{array}{l}
\Delta ABC;\widehat {ACB} = {90^0}\\
\Rightarrow A{C^2} + B{C^2} = A{B^2} = 4{R^2}\left( 3 \right)
\end{array}$
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right) \Rightarrow M{A^2} + M{C^2} + M{B^2} + M{D^2} = A{C^2} + B{C^2} = 4{R^2}$
$ \Rightarrow M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = 4{R^2}$
Ta có điều phải chứng minh.
