Đáp án: $(3;3;3);(3;2;5);(3;5;2);(2;3;5);(2;5;3);(5;2;3);(5;3;2)$
Giải thích các bước giải:
Do $a;b;c$ là số nguyên tố $⇒a;b;c$ cũng là số tự nhiên
$⇒a+b+c∈N ⇒ 3(a+b+c)\vdots3$
$⇒abc\vdots3⇒$ Tồn tại ít nhất $1$ số chia hết cho $3$
Xét $3$ trường hợp:
-Trường hợp 1: Nếu $a=b=c=3$
Thay vào biểu thức đã cho ta có:
$3.3.3=3(3+3+3)$ (thỏa mãn)
-Trường hợp 2: Nếu chỉ tồn tại $2$ số chia hết cho $3$
Giả sử $2$ số đó là $a;b⇒a=b=3$
Thay vào biểu thức đã cho ta có:
$3.3.c=3(3+3+c)⇒9c=18+3c$
$⇒9c-3c=18⇒6c=18⇒c=3$ (không thỏa mãn điều kiện "chỉ tồn tại $2$ số chia hết cho $3$")
-Trường hợp 3: Nếu chỉ tồn tại $1$ số chia hết cho $3$
Giả sử số đó là $a⇒a=3$
Thay vào biểu thức đã cho ta có:
$3.bc=3(3+b+c)⇒3bc=9+3c+3b$
$⇒bc=3+c+b⇒bc-c-b=3$
$⇒bc-b-c+1=3+1⇒b(c-1)-(c-1)=4$
$⇒(b-1)(c-1)=4(*)$
Do $b;c$ là số nguyên tố $⇒b-1;c-1$ là số tự nhiên
Do vậy $b-1∈Ư(4)=\{1;2;4\}$
$⇒b∈\{2;3;5\}$
Mà chỉ tồn tại $1$ số chia hết cho $3⇒b∈\{2;5\}$
+Nếu $b=2$ thay vào $(*)$ ta được:
$(2-1)(c-1)=4⇒c-1=4⇒c=5$ (thỏa mãn)
+Nếu $b=5$ thay vào $(*)$ ta được:
$(5-1)(c-1)=4⇒4(c-1)=4⇒c-1=1⇒c=2$ (thỏa mãn)
Vậy các bộ số $(a;b;c)$ thỏa mãn là $(3;3;3);(3;2;5);(3;5;2);(2;3;5);(2;5;3);(5;2;3);(5;3;2)$
