Giải thích các bước giải:
Trên tia đối của tia $BC$ lấy điểm $E$ sao cho $BE=MD$
Ta có:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
AB = AD\\
\widehat {ABE} = \widehat {ADM} = {90^0}\\
BE = DM
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \Delta ABE = \Delta ADM\left( {c.g.c} \right)\\
\Rightarrow \widehat {BAE} = \widehat {DAM}; AE=AM
\end{array}$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \widehat {BAE} + \widehat {BAM} = \widehat {DAM} + \widehat {BAM}\\
\Rightarrow \widehat {EAM} = \widehat {BAD}\\
\Rightarrow \widehat {EAM} = {90^0}
\end{array}$
Xét $\Delta EAM;\widehat {EAM} = {90^0};AE = AM$
$ \Rightarrow \Delta EAM$ vuông cân ở $A$
Lại có:
$\begin{array}{l}
\Delta CMN;\widehat {MCN} = {90^0}\\
\Rightarrow MN = \sqrt {C{M^2} + C{N^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{2}{3}AD} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}AD} \right)}^2}} = \dfrac{5}{6}AD\\
\Rightarrow MN = \dfrac{1}{2}AD + \dfrac{1}{3}AD\\
\Rightarrow MN = BN + BE\\
\Rightarrow MN = NE
\end{array}$
Khi đó:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
ANchung\\
AE = AM\\
NE = NM
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \Delta ANE = \Delta ANM\left( {c.c.c} \right)\\
\Rightarrow \widehat {EAN} = \widehat {MAN}
\end{array}$
$ \Rightarrow AN$ là phân giác góc $EAM$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \widehat {MAN} = {45^0}\\
\Rightarrow \sin \widehat {MAN} = \sin {45^0} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}
\end{array}$
Vậy $\sin \widehat {MAN} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$
