Đáp án:
$V_{A.BCD} =\dfrac{2a^3\sqrt2}{3}$
Giải thích các bước giải:
Gọi $M;\, N$ lần lượt là trung điểm $AC;\, BD$
Do $A.BCD$ là tứ diện đều
nên $∆BCD;\, ∆ABD$ đều
$\to CN\perp BD;\, AN\perp BD$
$\to BD\perp (ACN)$
$\to BD\perp MN\quad (1)$
Mặt khác:
$∆BCD;\, ∆ABD$ đều
$\to AN = CN$
$\to ∆ACN$ cân tại $N$
$\to NM\perp AC\quad (2)$
$(1)(2)\to MN$ là đoạn vuông góc chung giữa $AC$ và $BD$
hay $MN = d(AC;BD)=a\sqrt2$
Áp dụng định lý $Pythagoras$ ta được:
$AN^2 = MN^2 + AM^2$
$\to \left(\dfrac{AB\sqrt3}{2}\right)^2 = MN^2 +\dfrac{AC^2}{4}$
$\to \dfrac{3AB^2}{4} -\dfrac{AB^2}{4}= MN^2$
$\to \dfrac{AB^2}{2}=MN^2$
$\to AB^2 = 2MN^2 = 4a^2$
$\to AB = 2a$
$\to V_{A.BCD} =\dfrac{(2a)^3\sqrt2}{12}=\dfrac{2a^3\sqrt2}{3}$
