Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) Ta có: ^BAR+^DAR=^BAD=900 (1)
^DAQ+^DAR=900 (Do PQ vuông góc AR) (2)
Từ (1) và (2) => ^BAR=^DAQ
Xét ΔΔABR và ΔΔADQ:
^ABR=^ADQ=900
AB=AD => ΔΔABR=ΔΔADQ (g.c.g)
^BAR=^DAQ
=> AR=AQ (2 cạnh tương ứng) . Xét tam giác AQR:
AR=AQ, ^QAR=900 => ΔΔAQR là tam giác vuông cân tại A.
Tương tự: ΔΔADS=ΔΔABP (g.c.g)
=> AS=AP, ^PAS=900 => ΔΔAPS vuông cân tại A.
b) ΔΔAQR vuông cân tại A, M là trung điểm của QR => AM vuông góc QR (3)
Tương tự: AN vuông góc với PS (4)
Lại có: AM là phân giác của ^QAR (Do ΔΔAQR...) => ^MAR=450
AN là phân giác của ^PAS => ^SAN=450
=> ^MAR+^SAN=^MAN=900 (5)
Từ (3), (4) và (5) => Tứ giác AMHN là hình chữ nhật (đpcm)
c) Vì tứ giác AMHN là hcn => ^MHN=900 => MH vuông góc với PS hay QH vuông góc với PS
Xét ΔΔSQR: PQ vuông góc RS tại A, PS vuông góc QR tại H
=> P là trực tâm của tam giác SQR (đpcm).
d) Ta thấy ΔΔPCS vuông tại C (PC vuông góc QS), N là trung điểm của PS => CN=PN=SN.
Lại có: Tam giác APS vuông cân tại A, N là trung điểm PS => AN=PN=SN
=> CN=AN => N nằm trên đường trung trực của AC (6)
Tương tự: Tam giác QCR vuông tại C, M là trung điểm QR => CM=QM=RM
Tam giác AQR vuông cân A, M là trung điểm QR => AM=QM=RM
=> CM=AM => M nằm trên đường trung trực của AC (7)
Từ (6) và (7) => MN là trung trực của AC (đpcm). (8)
e) Xét hình vuông ABCD: 2 đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường
=> BD là trung trực của AC (9)
Từ (8) và (9) => M;B;N;D thẳng hàng (đpcm).
