Giải thích các bước giải:
1.Ta có $KI\perp BC\to\widehat{KIB}=\widehat{KAB}=90^o$
$\to ABIK$ nội tiếp đường tròn đường kính $BK$
Vì $O$ là tâm đường tròn
$\to O$ là trung điểm $BK$
2.Ta có $KI\perp BC=I$ là trung điểm $BC\to KI$ là trung trực của $BC$
$\to KB=KC\to \Delta KBC$ cân tại $K$
$\to \widehat{KBC}=\widehat{KCB}=\widehat{ACB}$
$\to \widehat{AKB}=2\widehat{ACB}$
Lại có $BA|perp AC\to BA\perp MK=A, AM=AK$
$\to AB$ là trung trực của $MK\to BM=BK\to \widehat{BMA}=\widehat{BKA}=2\widehat{BCA}$
$\to \widehat{BMC}=2\widehat{ACB}$
3.Ta có: $\widehat{KCI}=\widehat{ACB},\widehat{CIK}=\widehat{CAB}=90^o$
$\to \Delta CIK\sim\Delta CAB(g.g)$
$\to \dfrac{CI}{CA}=\dfrac{CK}{CB}$
$\to CI.CB=CK.CA$
$\to 2CI.CB=2CK.CA$
$\to BC.BC=2CK.AC$
$\to BC^2=2AC.KC$
4.Ta có: $AKBI$ nội tiếp
$\to \widehat{NAM}=\widehat{KAI}=\widehat{KBI}=\widehat{KCI}=\widehat{ACB}$
$\to \widehat{BMC}=2\widehat{ACB}=2\widehat{MAN}$
$\to \widehat{MNA}+\widehat{MAN}=2\widehat{MAN}$
$\to \widehat{MNA}=\widehat{MAN}$
$\to\Delta MAN$ cân tại $M\to MN=MA=AK$
Vì $BA, KI$ là trung trực của $MK, BC\to BM=BK, KB=KC\to BM=CK$
$\to BN=BM+MN=CK+KA=CA$
5.Từ câu 4
$\to \widehat{MNA}=\widehat{ACB}$
$\to \widehat{MNI}=\widehat{MCI}$
4\to MNCI$ nội tiếp
