`a)`
`ΔABC` nội tiếp `1/2` đường tròn `(O)` có `AB` là đường kính
`⇒ ΔABC` vuông tại `C`
`⇒ ` `\hat{ACB}` `=90^o` hay `\hat{MCN}``=90^o`
Xét tứ giác `OMCN` có
`\hat{MCN}``=90^o` `(cmt)`
`\hat{CMO}``=90^o` `(OM⊥ AC)`
`\hat{CNO}``=90^o` `(ON⊥ AB)`
`⇒` Tứ giác `OMCN` là hình chữ nhật (Dấu hiệu nhận biết )
`b)`
Xét `ΔABC` vuông tại `C` đường cao `CH` có
`AC²=AH.AB (1) `(Hệ thức lượng trong `Δ` vuông)
`AE` là tiếp tuyến của `1/2` đường tròn `(O)` tại `A`
`⇒AE⊥AB`
`⇒ΔAEB` vuông tại `A`
Xét `ΔAEB` vuông tại `A` có `AC` là đường cao `(AC⊥EB)` có
`AC² =EB.CB (2)` (Hệ thức lượng trong `Δ` vuông)
Từ `(1)` và `(2)` `⇒AH.AB=EB.CB` (vì cùng `=AC²`)
`c)`
Ta có `OB=OC` (bán kính của `1/2` đường tròn tâm O)
`⇒ΔOBC` cân tại `O`
Lại có `ON` là đường cao
`⇒ON` đồng thời là đường phân giác
`⇒ ``\hat{O_1} = \hat{O_1} `
Xét `ΔFBO` và `ΔFCO` có
`OB=OC` (bán kính của `1/2` đường tròn tâm O)
`\hat{O_1} = \hat{O_1} `
`OF` chung
`⇒ΔFBO =ΔFCO (c.g.c)`
`⇒ ` `\hat{FBO} = \hat{FCO}` (2 góc tương ứng)
Mà `\hat{FBO} = 90^o (cmt)`
`⇒` `\hat{FCO} = 90^o `
`⇒ OC⊥IF` tại `C`
Mà `C∈ ` `1/2` đường tròn tâm O ; `C∈IF`
`⇒ IF` là tiếp tuyến của `1/2` đường tròn tâm `O` tại `C`
