Đáp án:
$(x;y)=(1;1)$
$P\leq \dfrac12\Leftrightarrow a = b = c = 1$
Giải thích các bước giải:
$3x + 2y = 5$
Nhận thấy $(x;y)= (1;1)$ là một nghiệm riêng của phương trình
$\to$ Mọi nghiệm của phương trình là:
$\quad \begin{cases}x = 1 + 2t\\y = 1 - 3t\end{cases}\quad (t\in\Bbb Z)$
Ta lại có: $x;\, y \in \Bbb Z^+$
$\to \begin{cases}1 + 2t > 0\\1 - 3t >0\end{cases}$
$\to - \dfrac12 < t <\dfrac13$
Do $t \in \Bbb Z$
nên $t = 0$
$\to \begin{cases}x = 1+ 2.0 = 1\\y = 1 - 3.0 = 1\end{cases}$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $(x;y)=(1;1)$
______________________________________
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có:
$\quad \dfrac{1}{a^2 + 2b^2 +3}$
$=\dfrac{1}{(a^2 + b^2) + (b^2 +1) + 2}$
$\leq \dfrac{1}{2ab + 2b +2}$
$=\dfrac{1}{2(ab+b+1)}$
Tương tự, ta được:
$\dfrac{1}{b^2 + 2c^2 + 3}\leq \dfrac{1}{2(bc + c +1)}$
$\dfrac{1}{c^2 + 2a^2 +3}\leq \dfrac{1}{2(ca + a + 1)}$
Cộng vế theo vế ta được:
$P \leq \dfrac12\left(\dfrac{1}{ab + b + 1} +\dfrac{1}{bc + c + 1} +\dfrac{1}{ca + a +1}\right)$
Ta lại có:
$\quad \dfrac{1}{ab + b + 1} +\dfrac{1}{bc + c + 1} +\dfrac{1}{ca + a +1}$
$=\dfrac{c}{abc + bc+ c} +\dfrac{1}{bc + c + 1} +\dfrac{bc}{c^2ab+ abc +bc}$
$=\dfrac{c}{1 + bc + c} +\dfrac{1}{bc + c +1} +\dfrac{bc}{c + 1 + bc}$
$=\dfrac{c + 1 + bc}{c + 1 + bc}=1$
Do đó:
$P \leq \dfrac12$
Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 1$
