Gọi $H$ là giao điểm của $AD$ và $BC$
Áp dụng định lý $Thales$ ta được:
$\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{HA}{HD}$
$\to \dfrac{2AM}{2DN}=\dfrac{HA}{HD}$
$\to \dfrac{AM}{DN}=\dfrac{HA}{HD}$
Xét $∆AMH$ và $∆DNH$ có:
$\dfrac{AM}{DN}=\dfrac{HA}{HD}\quad (cmt)$
$\widehat{HAM}=\widehat{HDN}\quad$ (đồng vị)
Do đó $∆AMH\sim ∆DNH\, (c.g.c)$
$\to \widehat{AHM}=\widehat{DHN}$ (hai góc tương ứng)
mà $H,\, A,\, D$ thẳng hàng
nên $H,\,M,\, N$ thẳng hàng
$\to H\in MN$
Ta lại có: $H\in AD;\, H\in BC$
Do đó $AD,\, MN, \, BC$ đồng quy tại $H$
Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$
Bằng cách chứng minh tương tự, ta được:
$H,\, M,\, O,\, N$ thẳng hàng
Ta vừa chứng minh xong Bổ đề hình thang
“Trong hình thang có hai đáy không bằng nhau, đường thẳng đi qua giao điểm của các đường chéo và đi qua giao điểm của các đường thẳng chứa hai cạnh bên thì đi qua trung điểm của hai đáy”
