Đáp án + giải thích các bước giải:
8/
a) Với `m=2`, hệ phương trình trở thành:
$ \left\{\begin{matrix} x-2y=5(1)\\2x-y=4(2) \end{matrix}\right.\\ \rightarrow \left\{\begin{matrix} 2x-4y=10\\2x-y=4 \end{matrix}\right. \\ \rightarrow \left\{\begin{matrix} 2x-4y-2x+y=10-4\\2x-y=4 \end{matrix}\right. \\ \rightarrow \left\{\begin{matrix} -3y=6\\2x-y=4 \end{matrix}\right. \\ \rightarrow \left\{\begin{matrix} y=-2\\x=1 \end{matrix}\right.$
b) $ \left\{\begin{matrix} x-2y=5(1)\\mx-y=4(2) \end{matrix}\right.$
Từ `(1)->x=5+2y(3)`
Thế `(3)` vào `(2)` ta có:
`m(5+2y)-y=4`
`->5m+2my-y=4`
`->y(2m-1)=4-5m(4)`
Với `m=1/2`, phương trình `(4)` có dạng
`0y=3/2`
`->`Phương trình vô nghiệm
`->`Hệ phương trình vô nghiệm
Với `m\ne 1/2`, phương trình có nghiệm duy nhất
`y=(4-5m)/(2m-1)`
`->`Hệ phương trình có hệ nghiệm duy nhất $ \left\{\begin{matrix} y=\dfrac{4-5m}{2m-1}\\x=5+2. \dfrac{4-4m}{2m-1}=\dfrac{10m-5+8-8m}{2m-1}=\dfrac{2m+3}{2m-1} \end{matrix}\right.$
Để hệ phương trình có hệ nghiệm duy nhất trái dấu thì
`xy<0`
`->(2m+3)/(2m-1) . (4-5m)/(2m-1)<0`
`->(8m+12-10m^2-15m)/(2m-1)^2<0`
`->-10m^2-7m+12<0`
`->10m^2+7m+12>0`
`->100m^2+70m+120>0`
`->(10m)^2+2.10m. 7/2+49/4+431/4>0`
`->(10m+7/2)^2+431/4>0` (luôn đúng)
Vậy với `m\ne 1/2` thì hệ phương trình có hệ nghiệm duy nhất trái dấu
c) Để hệ phương trình có hệ nghiệm duy nhất thỏa mãn `x=|y|` thì
`(2m+3)/(2m-1) = |(4-5m)/(2m-1)|`
`->`\(\left[ \begin{array}{l}\dfrac{2m+3}{2m-1}=\dfrac{4-5m}{2m-1}\\\dfrac{2m+3}{2m-1}=\dfrac{5m-4}{2m-1}\end{array} \right.\)
`->`\(\left[ \begin{array}{l}2m+3=4-5m\\2m+3=5m-4\end{array} \right.\)
`->`\(\left[ \begin{array}{l}7m=1\\3m=7\end{array} \right.\)
`->`\(\left[ \begin{array}{l}m=\dfrac{1}{7}\\m=\dfrac{3}{7}\end{array}(TM) \right.\)
3/ a) Với `m=1`, hệ phương trình trở thành:
$ \left\{\begin{matrix} x+2y=4\\2x-3y=1 \end{matrix}\right.\\ \rightarrow \left\{\begin{matrix} 2x+4y=8\\2x-3y=1 \end{matrix}\right. \\ \rightarrow \left\{\begin{matrix} 2x+4y-2x+3y=8-1\\2x-3y=1 \end{matrix}\right. \\ \rightarrow \left\{\begin{matrix} 7y=7\\2x-3y=1 \end{matrix}\right. \\ \rightarrow \left\{\begin{matrix} y=1\\x=2 \end{matrix}\right.$
b) $\left\{\begin{matrix} x+2y=m+3(1)\\2x-3y=m(2) \end{matrix}\right.$
Từ `(1)->x=m+3-3y(3)`
Thế `(3)` vào `(2)`,có:
`2(m+3-3y)-3y=m`
`->2m+6-6y-3y=m`
`->6-9y=-m`
`->9y=6+m`
`->y=(m+6)/9`
`->`Hệ phương có hệ nghiệm duy nhất $\left\{\begin{matrix} y=\dfrac{m+6}{9}\\x=m+3-3. \dfrac{m+6}{9}=m+3-\dfrac{m+6}{3}=\dfrac{3m+9-m-6}{3}=\dfrac{2m+3}{3} \end{matrix}\right.$
Để hệ phương trình có hệ nghiệm duy nhất thỏa mãn `x+y=-3` thì
`(m+6)/9+(2m+3)/3=-3`
`->m+6+3(2m+3)=-27`
`->m+6+6m+9=-27`
`->7m=-42`
`->m=-6`
