Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:
$\begin{cases}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ca\end{cases}$
Cộng vế theo vế ta được:
$a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+a^2\ge 2ab+2bc+2ca$
$2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}+2{{c}^{2}}\ge 2ab+2bc+2ca\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$
Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:
$\begin{cases} a^2+1 \ge 2a\\b^2+1\ge 2b\\c^2+1\ge 2c\end{cases}$
Cộng vế theo vế, ta được:
$a^2+1+b^2+1+c^2+1 \ge 2a+2b+2c$
$\to {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+3\ge 2a+2b+2c\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$
Lấy $\left( 1 \right)+\left( 2 \right)$, ta được:
$3{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}+3{{c}^{2}}+3\ge 2\left( a+b+c+ab+bc+ca \right)$
$\to 3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1 \right)\ge 2.6$
$\to 3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1 \right)\ge 12$
$\to {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1\ge 4$
$\to {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge 3$
Dấu $''=''$ xảy ra khi và chỉ khi
$\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\\a=1\\b=1\\c=1\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=1$
