Giải thích các bước giải:
$A=\dfrac{2x+5}{2x-1}$
a)Để $A$ là phân số thì:
$2x-1\neq0$
$⇒x\neq\dfrac{1}{2}$
Vậy với $x\neq\dfrac{1}{2}$ thì $A$ là phân số
Mà $x∈\mathbb{Z}$
$⇒∀x∈\mathbb{Z}$ $A$ đều là phân số
b)Để $A$ là số nguyên thì:
$2x+5\neq2x-1$ $(x∈\mathbb{Z})$
Mà
$A=\dfrac{2x+5}{2x-1}$
$=\dfrac{2x-1+6}{2x-1}$
$=1+\dfrac{6}{2x-1}$
Để $ 2x+5\neq2x-1$ thì:
$6\vdots 2x-1$
$⇒2x-1∈Ư(6)$
$⇒2x-1∈\{±1;±2;±3;±6\}$
Ta có bảng sau:
$\begin{array}{|c|c|}\hline 2x-1&-6&-3&-2&-1&1&2&3&6\\\hline x&-\dfrac{5}{2}_{(ktm)}&-1_{(tm)}&-\dfrac{1}{2}&0_{(tm)}&1_{(tm)}&\dfrac{3}{2}_{(ktm)}&2_{(tm)}&\dfrac{7}{2}_{(ktm)}\\\hline\end{array}$
Vậy với $x∈\{-1;0;1;2\}$ thì $A$ là một số nguyên
c)Theo b), ta có:
$A=1+\dfrac{6}{2x-1}$
Để $A$ lớn nhất
$⇒\dfrac{6}{2x-1}$ lớn nhất
Để $\dfrac{6}{2x-1}$ lớn nhất thì
$⇒2x-1>0$ và $2x-1$ nhỏ nhất
$⇒2x-1=1$
$⇒x=1$
$⇒$ Khi này $A=1+\dfrac{6}{2.1-1}=1+6=7$
Vậy $A_{max}=7$ tại $x=1$
Để $A$ lớn nhất
$⇒\dfrac{6}{2x-1}$ lớn nhất
Để $\dfrac{6}{2x-1}$ nhỏ nhất thì
$⇒2x-1<0$ và $2x-1$ lớn nhất
$⇒2x-1=-1$
$⇒x=0$
$⇒$ Khi này $A=1+\dfrac{6}{2.0-1}=1-6=-5$
Vậy $A_{min}=-5$ tại $x=0$
