a)
Xét tứ giác $BHEK$, ta có:
$\widehat{BHE}=90{}^\circ $
$\widehat{BKE}=90{}^\circ $
$\to \widehat{BHE}+\widehat{BKE}=180{}^\circ $
$\to BHEK$ là tứ giác nội tiếp
b)
Vì $BHEK$ là tứ giác nội tiếp
$\to \widehat{BHK}=\widehat{BEK}$ ( cùng chắn cung $\overset\frown{HK}$ )
Mà $\widehat{BEK}=\widehat{BCA}$ ( cùng phụ $\widehat{KEC}$ )
Nên $\widehat{BHK}=\widehat{BCA}$
Xét $\Delta BHK$ và $\Delta BCA$, ta có:
$\widehat{ABC}$ là góc chung
$\widehat{BHK}=\widehat{BCA}\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$
$\to \Delta BHK\sim\Delta BCA\,\,\,\left( \,g\,.\,g\, \right)$
$\to \dfrac{BH}{BC}=\dfrac{BK}{BA}$
$\to BH.BA=BK.BC$
c)
Gọi $D$ là giao điểm $HK$ và $CF$
Vì $BHEK$ là tứ giác nội tiếp
$\to \widehat{HKE}=\widehat{HBE}$ ( cùng chắn cung $\overset\frown{HE}$ )
Mà $\widehat{HBE}=\widehat{ACF}$ ( cùng phụ $\widehat{BAC}$ )
Nên $\widehat{HKE}=\widehat{ACF}$
$\to KDEC$ là tứ giác nội tiếp
$\to \widehat{EDC}=\widehat{EKC}=90{}^\circ $
$\to ED\bot CF$
Xét tứ giác $FHED$, ta có:
$\widehat{EDF}=90{}^\circ $
$\widehat{DFH}=90{}^\circ $
$\widehat{FHE}=90{}^\circ $
$\to FHED$ là hình chữ nhật
Có $I$ là trung điểm $EF$
Nên $I$ cũng là trung điểm $HD$
$\to $ ba điểm $H,I,D$ thẳng hàng
$\to $ ba điểm $H,I,K$ thẳng hàng
