Đáp án:
$a =\pm \dfrac{2\sqrt3}{3}$
Giải thích các bước giải:
$\quad f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2 - 5x +6}{\sqrt{4x -3} - x}\quad khi\quad x > 3\\1 - a^2x\qquad \quad khi\quad x \leqslant 3\end{cases}$
Ta có:
$+)\quad f(3)=\lim\limits_{x\to 3^-}f(x)= 1 - 3a^2$
$+)\quad \lim\limits_{x\to 3^+}f(x)$
$= \lim\limits_{x\to 3^+}\dfrac{x^2 - 5x +6}{\sqrt{4x -3} - x}$
$= \lim\limits_{x\to 3^+}\dfrac{(x-2)(x-3)\left(\sqrt{4x -3} + x\right)}{4x -3- x^2}$
$= \lim\limits_{x\to 3^+}\dfrac{(x-2)(x-3)\left(\sqrt{4x -3} + x\right)}{-(x-1)(x-3)}$
$= \lim\limits_{x\to 3^+}\dfrac{(x-2)\left(\sqrt{4x -3} + x\right)}{1-x}$
$=\dfrac{(3-2)\left(\sqrt{4.3 -3} + 3\right)}{1-3}$
$= -3$
Hàm số liên tục tại $x = 3$
$\Leftrightarrow f(3)=\lim\limits_{x\to 3^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 3^+}f(x)$
$\Leftrightarrow 1 - 3a^2 = -3$
$\Leftrightarrow a^2 =\dfrac43$
$\Leftrightarrow a =\pm \dfrac{2\sqrt3}{3}$
